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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 4.2 La Función Tangente

En Activity 4.1.4, determinamos la distancia entre dos puntos \(A\) y \(B\) en lados opuestos de un río conociendo una longitud a lo largo de una orilla del río y el ángulo formado entre un punto río abajo y el punto en la orilla opuesta, como se muestra en Figure 4.2.1. Primero, usando el coseno del ángulo, determinamos el valor de \(z\) y desde allí pudimos usar el seno del ángulo para encontrar \(w\text{,}\) el ancho del río, que resulta ser
\begin{equation*} w = 50 \cdot \frac{\sin(56.4)}{\cos(56.4)}\text{.} \end{equation*}
Figure 4.2.1. Encontrando el ancho del río.
Resulta que regularmente necesitamos evaluar la razón de las funciones seno y coseno en el mismo ángulo, por lo que es conveniente definir una nueva función que sea su razón.

Definition 4.2.2. La función tangente.

Para cualquier número real \(t\) para el cual \(\cos(t) \ne 0\text{,}\) definimos la tangente de \(t\), denotada \(\tan(t)\text{,}\) por
\begin{equation*} \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\text{.} \end{equation*}

Preview Activity 4.2.1.

A través de las siguientes preguntas, trabajamos para entender los valores especiales y el comportamiento general de la función tangente.
  1. Sin usar un dispositivo computacional, encuentra el valor exacto de \(\tan(t)\) en los siguientes valores: \(t = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\text{.}\)
  2. ¿Por qué \(\tan \left( \frac{\pi}{2} \right)\) no está definida? ¿Cuáles son otros tres valores de entrada \(x\) para los cuales \(\tan(x)\) no está definida?
  3. Dirige tu navegador a http://gvsu.edu/s/0yO
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    gvsu.edu/s/0yO
    (“zero-y-Oh”) para encontrar una hoja de trabajo de Desmos con datos de la función tangente ya ingresados, denotada en Desmos por la función \(T(x) = \tan(x)\text{.}\) Haz clic en varios de los puntos naranjas para comparar tus valores exactos en (a) con los valores decimales dados por Desmos. Añade una entrada a la tabla: \(x = \frac{11\pi}{24}\text{,}\) \(y = T(\frac{11\pi}{24})\text{.}\) ¿En qué coordenadas aproximadamente se encuentra este punto? ¿Cuáles son los valores aproximados de \(\sin(\frac{11\pi}{24})\) y \(\cos(\frac{11\pi}{24})\text{?}\) ¿Por qué el valor de \(\tan(\frac{11\pi}{24})\) es tan grande en relación con los otros valores de \(\tan(x)\) en la tabla?
  4. En la parte superior de las listas de entrada en el lado izquierdo de la hoja de trabajo de Desmos, haz clic en el círculo para resaltar la función \(T(x) = \tan(x)\) y así mostrar su gráfico junto con los puntos de datos en naranja. Usa el gráfico y tu trabajo anterior para responder las siguientes preguntas importantes sobre la función tangente:
    • ¿Cuál es el dominio de \(y = \tan(x)\text{?}\)
    • ¿Cuál es el período de \(y = \tan(x)\text{?}\)
    • ¿Cuál es el rango de \(y = \tan(x)\text{?}\)

Subsection 4.2.1 Dos perspectivas sobre la función tangente

Figure 4.2.3. Un ángulo \(t\) en posición estándar en el círculo unitario que intercepta un arco desde \((1,0)\) hasta \((a,b).\)
Figure 4.2.4. Un triángulo rectángulo con catetos adyacente y opuesto al ángulo \(\theta\text{.}\)
Dado que la función tangente se define en términos de las dos funciones circulares fundamentales por la regla \(\tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}\text{,}\) podemos usar nuestro entendimiento de las funciones seno y coseno para entender la función tangente. En particular, podemos pensar en la tangente de un ángulo desde dos perspectivas diferentes: como un ángulo en posición estándar en el círculo unitario, o como un ángulo en un triángulo rectángulo.
Desde el punto de vista de Figura 4.2.3, a medida que el punto correspondiente al ángulo \(t\) recorre el círculo y genera el punto \((a,b)\text{,}\) sabemos que \(\cos(t) = a\) y \(\sin(t) = b\text{,}\) y por lo tanto la función tangente sigue la proporción de estas dos cantidades, y se da por
\begin{equation*} \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{b}{a}\text{.} \end{equation*}
Desde la perspectiva de cualquier triángulo rectángulo (no necesariamente en el círculo unitario) con hipotenusa “hyp” y catetos “adj” y “opp” que son respectivamente adyacente y opuesto al ángulo conocido \(\theta\text{,}\) como se ve en Figura 4.2.4, sabemos que \(\sin(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\) y \(\cos(\theta) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}}\text{.}\) Sustituyendo estas expresiones para \(\sin(\theta)\) y \(\cos(\theta)\) en la regla para la función tangente, vemos que
\begin{equation*} \tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \frac{\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}}{\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}} = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\text{.} \end{equation*}
Normalmente usamos la primera perspectiva de seguir la proporción de la coordenada \(y\) a la coordenada \(x\) de un punto que recorre el círculo unitario para pensar en el comportamiento general y la gráfica de la función tangente, y usamos la segunda perspectiva en un triángulo rectángulo siempre que estemos trabajando para determinar valores faltantes en un triángulo.

Subsection 4.2.2 Propiedades de la función tangente

Dado que la función tangente se define en términos de las funciones seno y coseno, sus valores y comportamiento están completamente determinados por esas dos funciones. Para empezar, sabemos el valor de \(\tan(t)\) para cada ángulo especial \(t\) en el círculo unitario que identificamos para las funciones seno y coseno. Por ejemplo, sabemos que
\begin{equation*} \tan \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{ \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) }{ \cos \left( \frac{\pi}{6} \right) } = \frac{ \frac{1}{2} }{ \frac{\sqrt{3}}{2} } = \frac{1}{\sqrt{3}}\text{.} \end{equation*}
Ejecutando cálculos similares para cada ángulo especial familiar en el círculo unitario, encontramos los resultados mostrados en Tabla 4.2.5 y Tabla 4.2.6. También notamos que en cualquier lugar donde \(\cos(t) = 0\text{,}\) el valor de \(\tan(t)\) no está definido. Registramos tales instancias en la tabla escribiendo “u”.
Table 4.2.5. Valores de las funciones seno, coseno y tangente en puntos especiales del círculo unitario.
\(t\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
\(\sin(t)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\cos(t)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\)
\(\tan(t)\) \(0\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) u \(-\sqrt{3}\) \(-1\) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)
Table 4.2.6. Valores adicionales de las funciones seno, coseno y tangente en puntos especiales del círculo unitario.
\(t\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(2\pi\)
\(\sin(t)\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\)
\(\cos(t)\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(0\)
\(\tan(t)\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\sqrt{3}\) u \(-\sqrt{3}\) \(-1\) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)
Tabla 4.2.5 y Tabla 4.2.6 nos ayudan a identificar tendencias en la función tangente. Por ejemplo, observamos que el signo de \(\tan(t)\) es positivo en el Cuadrante I, negativo en el Cuadrante II, positivo en el Cuadrante III y negativo en el Cuadrante IV. Esto se debe a que las funciones seno y coseno tienen el mismo signo en el primer y tercer cuadrantes, y signos opuestos en los otros dos cuadrantes.
Además, observamos que a medida que los valores de \(t\) en el primer cuadrante se acercan a \(\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\sin(t)\) se acerca a \(1\text{,}\) mientras que \(\cos(t)\) se acerca a \(0\) (siempre siendo positivo). Notando que \(\frac{\pi}{2} \approx 1.57\text{,}\) observamos que
\begin{equation*} \tan(1.47) = \frac{\sin(1.47)}{\cos(1.47)} \approx \frac{0.995}{0.101} = 9.887 \end{equation*}
y
\begin{equation*} \tan(1.56) = \frac{\sin(1.56)}{\cos(1.56)} \approx \frac{0.9994}{0.0108} = 92.6205\text{.} \end{equation*}
Dado que la proporción de números cada vez más cercanos a \(1\) divididos por números cada vez más cercanos a \(0\) (pero positivos) aumenta sin límite, esto significa que \(\tan(t)\) aumenta sin límite a medida que \(t\) se acerca a \(\frac{\pi}{2}\) desde el lado izquierdo. Una vez que \(t\) es ligeramente mayor que \(\frac{\pi}{2}\) en el Cuadrante II, el valor de \(\sin(t)\) se mantiene cerca de \(1\text{,}\) pero ahora el valor de \(\cos(t)\) es negativo (y cercano a cero). Por ejemplo, \(\cos(1.58) \approx -0.0092\text{.}\) Esto hace que el valor de \(\tan(t)\) disminuya sin límite (negativo y alejándose más de \(0\)) para \(t\) acercándose a \(\frac{\pi}{2}\) desde el lado derecho, y resulta en que \(h(t) = \tan(t)\) tenga una asíntota vertical en \(t = \frac{\pi}{2}\text{.}\) La periodicidad y los comportamientos de signo de \(\sin(t)\) y \(\cos(t)\) significan que este comportamiento asintótico de la función tangente se repetirá.
Graficando los datos en la tabla junto con las asíntotas esperadas y conectando los puntos intuitivamente, vemos la gráfica de la función tangente en Figura 4.2.7.
Figure 4.2.7. Una gráfica de la función tangente junto con puntos especiales que provienen del círculo unitario.
Vemos en Tabla 4.2.5 y Tabla 4.2.6 así como en Figura 4.2.7 que la función tangente tiene un período \(P = \pi\) y que la función está aumentando en cualquier intervalo en el que esté definida. Resumimos nuestro trabajo reciente de la siguiente manera.

Propiedades de la función tangente.

Para la función \(h(t) = \tan(t)\text{,}\)
  • su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto \(t = \frac{\pi}{2} \pm k\pi\) donde \(k\) es cualquier número entero;
  • su rango es el conjunto de todos los números reales;
  • su período es \(P = \pi\text{;}\)
  • está aumentando en cualquier intervalo en el que la función esté definida en cada punto del intervalo.
Aunque la función tangente es una función matemática interesante por sí misma, sus aplicaciones más importantes surgen en el contexto de los triángulos rectángulos, y para el resto de esta sección nos enfocaremos en esa perspectiva.

Subsection 4.2.3 Usando la función tangente en triángulos rectángulos

La función tangente nos ofrece una opción adicional cuando trabajamos en triángulos rectángulos con información limitada. En el caso de que tengamos un triángulo rectángulo con un ángulo adicional conocido, si conocemos la longitud de la hipotenusa, podemos usar el seno o el coseno del ángulo para ayudarnos a encontrar fácilmente las longitudes de los lados restantes. Pero en el caso de que solo conozcamos la longitud de un cateto, la función tangente ahora nos permite determinar el valor del cateto restante de una manera igualmente sencilla, y a partir de ahí la hipotenusa.

Example 4.2.8.

Usa la función tangente para determinar el ancho, \(w\text{,}\) del río en Figure 4.2.9. (Nota que aquí estamos revisitando el problema en Activity 4.1.4, que previamente resolvimos sin usar la función tangente.) ¿Qué otra información podemos determinar fácilmente ahora?
Figure 4.2.9. Un triángulo rectángulo con un ángulo y un cateto conocidos.
Solution.
Usando la perspectiva de que \(\tan(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\) en un triángulo rectángulo, en este contexto tenemos
\begin{equation*} \tan(56.4^\circ) = \frac{w}{50} \end{equation*}
y así \(w = 50\tan(56.4)\) es el ancho exacto del río. Usando un dispositivo de cálculo, encontramos que \(w \approx 75.256\text{.}\)
Una vez que conocemos el ancho del río, podemos usar el teorema de Pitágoras o la función seno para determinar la distancia desde \(P\) hasta \(A\text{,}\) en cuyo punto todas las \(6\) partes del triángulo son conocidas.
La función tangente encuentra una amplia gama de aplicaciones en la búsqueda de información faltante en triángulos rectángulos donde se conoce la información sobre uno o más catetos del triángulo.

Activity 4.2.2.

La cima de una torre de \(225\) pies debe ser anclada por cuatro cables que cada uno hace un ángulo de \(32.5^{\circ}\) con el suelo. ¿Qué longitud deben tener los cables y a qué distancia de la base de la torre deben ser anclados?

Activity 4.2.3.

Los rascacielos superaltos
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Ver este artículo
han cambiado el horizonte de Manhattan. Estos rascacielos son conocidos por su pequeña huella en proporción a su altura, con su relación de ancho a altura de al menos \(1:10\text{,}\) y algunos tan extremos como \(1:24\text{.}\) Supón que se ha construido un superalto relativamente corto a una altura de \(635\) pies, como se muestra en Figure 4.2.10, y que se construye un segundo superalto cerca. Dados los dos ángulos que se calculan desde el nuevo edificio, ¿qué altura, \(s\text{,}\) tiene el nuevo edificio, y a qué distancia, \(d\text{,}\) están las dos torres?
Figure 4.2.10. Dos rascacielos superaltos.

Activity 4.2.4.

Los topógrafos están tratando de determinar la altura de una colina en relación con el nivel del mar. Primero, eligen un punto para tomar una medición inicial con un sextante que muestra que el ángulo de elevación desde el suelo hasta la cima de la colina es de \(19^\circ\text{.}\) Luego, se mueven \(1000\) pies más cerca de la colina, manteniéndose a la misma elevación en relación con el nivel del mar, y encuentran que el ángulo de elevación ha aumentado a \(25^\circ\text{,}\) como se muestra en Figure 4.2.11. Dejamos que \(h\) represente la altura de la colina en relación con las dos mediciones, y \(x\) represente la distancia desde la segunda ubicación de medición hasta el “centro” de la colina que se encuentra directamente debajo de la cima.
Figure 4.2.11. Las mediciones iniciales de los topógrafos.
  1. Usando el triángulo rectángulo con el ángulo de \(25^\circ\text{,}\) encuentra una ecuación que relacione \(x\) y \(h\text{.}\)
  2. Usando el triángulo rectángulo con el ángulo de \(19^\circ\text{,}\) encuentra una segunda ecuación que relacione \(x\) y \(h\text{.}\)
  3. Nuestro trabajo en (a) y (b) resulta en un sistema de dos ecuaciones en las dos incógnitas \(x\) y \(h\text{.}\) Resuelve cada una de las dos ecuaciones para \(h\) y luego sustituye adecuadamente para encontrar una sola ecuación en la variable \(x\text{.}\)
  4. Resuelve la ecuación de (c) para encontrar el valor exacto de \(x\) y determina un valor aproximado con una precisión de \(3\) decimales.
  5. Usa tu trabajo anterior para resolver \(h\) exactamente, además de determinar una estimación precisa a \(3\) decimales.
  6. Si las mediciones iniciales de los topógrafos se tomaron desde una elevación de \(78\) pies sobre el nivel del mar, ¿qué altura sobre el nivel del mar tiene la cima de la colina?

Subsection 4.2.4 Resumen

  • La función tangente se define como la razón de las funciones seno y coseno según la regla
    \begin{equation*} \tan(t) = \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \end{equation*}
    para todos los valores de \(t\) para los cuales \(\cos(t) \ne 0\text{.}\)
  • El gráfico de la función tangente difiere sustancialmente de los gráficos de las funciones seno y coseno, principalmente porque cerca de los valores donde \(\cos(t) = 0\text{,}\) la razón de \(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\) aumenta o disminuye sin límite, produciendo asíntotas verticales. Además, mientras que el período de las funciones seno y coseno es \(P = 2\pi\text{,}\) el período de la función tangente es \(P = \pi\) debido a cómo las funciones seno y coseno repiten los mismos valores (con diferentes signos) a medida que un punto recorre el círculo unitario.
  • La función tangente encuentra algunas de sus aplicaciones más importantes en el contexto de los triángulos rectángulos donde se conoce un cateto del triángulo y uno de los ángulos no rectos. Calculando la tangente del ángulo conocido, digamos \(\alpha\text{,}\) y usando el hecho de que
    \begin{equation*} \tan(\alpha) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}} \end{equation*}
    podemos entonces encontrar la longitud del cateto faltante en términos del otro y la tangente del ángulo.

Exercises 4.2.5 Exercises

1.

Una rampa para sillas de ruedas se va a construir de manera que el ángulo que forma con el suelo sea de \(4^{\circ}\text{.}\) Si la rampa va a elevarse desde una acera nivelada hasta un porche que está a \(3\) pies sobre el suelo, ¿cuánto debe medir la rampa? ¿A qué distancia del porche se encontrará con la acera? ¿Cuál es la pendiente de la rampa?

2.

Una persona está volando una cometa y al final de una longitud fija de cuerda. Supón que no hay holgura en la cuerda.
En un cierto momento, la cometa está a \(170\) pies del suelo, y el ángulo de elevación que la cuerda forma con el suelo es de \(40^\circ\text{.}\)
  1. ¿Qué distancia hay entre la persona que vuela la cometa y otra persona que está directamente debajo de la cometa?
  2. ¿Cuánta cuerda hay entre la persona que vuela la cometa y la cometa misma?
  3. Con la misma cantidad de cuerda, el ángulo de elevación aumenta a \(50^\circ\text{.}\) ¿Qué altura tiene la cometa en ese momento?

3.

Un avión está volando a una velocidad constante a lo largo de un camino recto sobre una carretera recta a una elevación constante de \(2400\) pies. Una persona en la carretera observa el avión volando directamente hacia ella y usa un sextante para medir el ángulo de elevación desde ella hasta el avión. La primera medición que toma registra un ángulo de \(36^\circ\text{;}\) una segunda medición tomada \(2\) segundos después es de \(41^\circ\text{.}\)
¿Qué distancia recorrió el avión durante los dos segundos entre las dos mediciones de ángulo? ¿A qué velocidad volaba el avión?
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