APC Funciones Inversas

Section 1.7 Funciones Inversas

Motivating Questions

¿Qué significa decir que una función dada tiene una función inversa?
¿Cómo podemos determinar si una función dada tiene una función inversa correspondiente?
Cuando una función tiene una función inversa, ¿qué propiedades importantes tiene la función inversa en comparación con la función original?

Dado que cada función es un proceso que convierte una colección de entradas en una colección correspondiente de salidas, una pregunta natural es: para una función particular, ¿podemos cambiar de perspectiva y pensar en las salidas de la función original como las entradas para un proceso inverso? Si formulamos esta pregunta algebraicamente, es análogo a preguntar: dada una ecuación que define \(y\) como una función de \(x\text{,}\) ¿es posible encontrar una ecuación correspondiente donde \(x\) sea una función de \(y\text{?}\)

Preview Activity 1.7.1.

Recuerda que \(F = g(C) = \frac{9}{5}C + 32\) es la función que toma entradas de temperatura en Celsius y produce las salidas correspondientes en Fahrenheit.

Muestra que es posible resolver la ecuación \(F = \frac{9}{5}C + 32\) para \(C\) en términos de \(F\) y que al hacerlo se obtiene la ecuación \(C = \frac{5}{9}(F-32)\text{.}\)
Nota que la ecuación \(C = \frac{5}{9}(F-32)\) expresa \(C\) como una función de \(F\text{.}\) Llama a esta función \(h\) de modo que \(C = h(F) = \frac{5}{9}(F-32)\text{.}\)

Encuentra la expresión más simple que puedas para la función compuesta \(j(C) = h(g(C))\text{.}\)
Encuentra la expresión más simple que puedas para la función compuesta \(k(F) = g(h(F))\text{.}\)
¿Por qué son tan simples las funciones \(j\) y \(k\text{?}\) Explica discutiendo cómo las funciones \(g\) y \(h\) procesan entradas para generar salidas y qué sucede cuando ejecutamos primero una y luego la otra.

Subsection 1.7.1 Cuando una función tiene una función inversa

En Actividad de Previsualización 1.7.1, encontramos que para la función \(F = g(C) = \frac{9}{5}C + 32\text{,}\) también es posible resolver para \(C\) en términos de \(F\) y escribir \(C = h(F) = \frac{5}{9}(F-32)\text{.}\) La primera función, \(g\text{,}\) convierte temperaturas en Celsius a Fahrenheit; la segunda función, \(h\text{,}\) convierte temperaturas en Fahrenheit a Celsius. Por lo tanto, el proceso \(h\) invierte el proceso de \(g\text{,}\) y de la misma manera el proceso de \(g\) invierte el proceso de \(h\text{.}\) Esto también es la razón por la cual tiene sentido que \(h(g(C)) = C\) y \(g(h(F)) = F\text{.}\) Si, por ejemplo, tomamos una temperatura en Celsius \(C\text{,}\) la convertimos a Fahrenheit y luego convertimos el resultado de vuelta a Celsius, llegamos nuevamente a la temperatura en Celsius con la que empezamos: \(h(g(C)) = C\text{.}\)

Un trabajo similar es a veces posible con otras funciones. Cuando podemos encontrar una nueva función que invierte el proceso de la función original, decimos que la función original “tiene una función inversa” y hacemos la siguiente definición formal.

Definition 1.7.1.

Sea \(f : A \to B\) una función. Si existe una función \(g : B \to A\) tal que

\begin{equation*} g(f(a)) = a \text{ y } f(g(b)) = b \end{equation*}

para cada \(a\) en \(A\) y cada \(b\) en \(B\text{,}\) entonces decimos que \(f\) tiene una función inversa y que la función \(g\) es la inversa de \(f\).

Nota particularmente lo que dice la ecuación \(g(f(a)) = a\text{:}\) para cualquier entrada \(a\) en el dominio de \(f\text{,}\) la función \(g\) invertirá el proceso de \(f\) (que convierte \(a\) en \(f(a)\)) porque \(g\) convierte \(f(a)\) de vuelta a \(a\text{.}\)

Cuando una función dada \(f\) tiene una función inversa correspondiente \(g\text{,}\) usualmente renombramos \(g\) como \(f^{-1}\text{,}\) que leemos en voz alta como “\(f\)-inversa”. La ecuación \(g(f(a))=a\) ahora se lee \(f^{-1}(f(a)) = a\text{,}\) lo que interpretamos como decir “\(f\)-inversa convierte \(f(a)\) de vuelta a \(a\)”. De manera similar, escribimos que \(f(f^{-1}(b)) = b\text{.}\)

Activity 1.7.2.

Recuerda la función de Dolbear \(F = D(N) = 40 + \frac{1}{4}N\) que convierte el número, \(N\text{,}\) de chirridos por minuto del grillo de árbol nevado a una temperatura correspondiente en Fahrenheit. Hemos establecido anteriormente que el dominio de \(D\) es \([40,180]\) y el rango de \(D\) es \([50,85]\text{,}\) como se ve en la Figura 1.2.3.

Resuelve la ecuación \(F = 40 + \frac{1}{4}N\) para \(N\) en términos de \(F\text{.}\) Llama a la función resultante \(N = E(F)\text{.}\)
Explica en palabras el proceso o efecto de la función \(N = E(F)\text{.}\) ¿Qué toma como entrada? ¿Qué genera como salida?
Usa la función \(E\) que encontraste en (a.) para calcular \(j(N) = E(D(N))\text{.}\) Simplifica tu resultado tanto como sea posible. Haz lo mismo para \(k(F) = D(E(F))\text{.}\) ¿Qué notas acerca de estas dos funciones compuestas \(j\) y \(k\text{?}\)
Considera las ecuaciones \(F = 40 + \frac{1}{4}N\) y \(N = 4(F-40)\text{.}\) ¿Estas ecuaciones expresan diferentes relaciones entre \(F\) y \(N\text{,}\) o expresan la misma relación de dos maneras diferentes? Explica.

Cuando una función dada tiene una función inversa, nos permite expresar la misma relación desde dos puntos de vista diferentes. Por ejemplo, si \(y = f(t) = 2t+1\text{,}\) podemos mostrar

Observa que \(g(f(t)) = g(2t+1) = \frac{(2t+1)-1}{2} = \frac{2t}{2} = t\text{.}\) De manera similar, \(f(g(y)) = f\left(\frac{y-1}{2}\right) = 2\left(\frac{y-1}{2} \right) + 1 = y-1 + 1 = y\text{.}\)

que la función \(t = g(y) = \frac{y-1}{2}\) invierte el efecto de \(f\) (y viceversa), y por lo tanto \(g = f^{-1}\text{.}\) Observamos que

\begin{equation*} y = f(t) = 2t + 1 \text{ y } t = f^{-1}(y) = \frac{y-1}{2} \end{equation*}

son formas equivalentes de la misma ecuación, y por lo tanto dicen lo mismo desde dos perspectivas diferentes. La primera versión de la ecuación está resuelta para \(y\) en términos de \(t\text{,}\) mientras que la segunda ecuación está resuelta para \(t\) en términos de \(y\text{.}\) Este principio importante se mantiene en general siempre que una función tiene una función inversa.

Dos perspectivas desde una función y su función inversa.

Si \(y = f(t)\) tiene una función inversa, entonces las ecuaciones

\begin{equation*} y = f(t) \text{ y } t = f^{-1}(y) \end{equation*}

dicen exactamente lo mismo pero desde dos perspectivas diferentes.

Subsection 1.7.2 Determinando si una función tiene una función inversa

Es importante notar en Definición 1.7.1 que decimos “Si existe \(\ldots\text{.}\)” Es decir, no garantizamos que una función inversa exista para una función dada. Por lo tanto, podríamos preguntar: ¿cómo podemos determinar si una función dada tiene una función inversa correspondiente? Como con muchas preguntas sobre funciones, a menudo hay tres formas diferentes de explorar tal pregunta: a través de una tabla, a través de un gráfico o a través de una fórmula algebraica.

Example 1.7.2.

¿Tienen las funciones \(f\) y \(g\) definidas por Tabla 1.7.3 y Tabla 1.7.4 funciones inversas correspondientes? ¿Por qué o por qué no?

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(f(x)\)	\(6\)	\(4\)	\(3\)	\(4\)	\(6\)

Table 1.7.3. La tabla que define la función \(f\text{.}\)

\(x\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(g(x)\)	\(3\)	\(1\)	\(4\)	\(2\)	\(0\)

Table 1.7.4. La tabla que define la función \(g\text{.}\)

Solution.

Para cualquier función, la cuestión de si tiene o no una inversa se reduce a si el proceso de la función puede ser invertido de manera confiable. Para funciones dadas en forma de tabla, como \(f\) y \(g\text{,}\) esencialmente preguntamos si es posible intercambiar las filas de entrada y salida y que la nueva tabla resultante también represente una función.

La función \(f\) no tiene una función inversa porque hay dos entradas diferentes que llevan al mismo resultado: \(f(0) = 6\) y \(f(4) = 6\text{.}\) Si intentamos invertir este proceso, tenemos una situación donde la entrada \(6\) correspondería a dos posibles salidas, \(0\) y \(4\text{.}\)

Sin embargo, la función \(g\) sí tiene una función inversa porque cuando invertimos las filas en Tabla 1.7.4, cada entrada (en orden, \(3\text{,}\) \(1\text{,}\) \(4\text{,}\) \(2\text{,}\) \(0\)) corresponde a una y solo una salida (en orden, \(0\text{,}\) \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(4\)). Así podemos hacer observaciones como \(g^{-1}(4) = 2\text{,}\) lo cual es lo mismo que decir que \(g(2) = 4\text{,}\) solo desde una perspectiva diferente.

En Ejemplo 1.7.2, vemos que si podemos identificar un par de entradas distintas que llevan al mismo resultado (como \(f(0) = f(4) = 6\) en Tabla 1.7.3), entonces el proceso de la función no puede ser invertido y la función no tiene una inversa.

Example 1.7.5.

¿Tienen las funciones \(p\) y \(q\) definidas por Figura 1.7.6 y Figura 1.7.7 funciones inversas correspondientes? ¿Por qué o por qué no?

Figure 1.7.6. El gráfico que define la función \(p\text{.}\)

Figure 1.7.7. El gráfico que define la función \(q\text{.}\)

Solution.

Recuerda que cuando un punto como \((a,c)\) se encuentra en el gráfico de una función \(p\text{,}\) esto significa que la entrada \(x = a\text{,}\) que representa un valor en el eje horizontal, corresponde con la salida \(y = c\) que está representada por un valor en el eje vertical. En esta situación, escribimos \(p(a) = c\text{.}\) Explicitamos que \(p\) es una función porque su gráfico pasa la Prueba de la Línea Vertical: cualquier línea vertical intersecta el gráfico de \(p\) exactamente una vez, y por lo tanto cada entrada del dominio corresponde a una y solo una salida.

Si intentamos cambiar de perspectiva y usar el gráfico de \(p\) para ver \(x\) como una función de \(y\text{,}\) vemos que esto falla porque el valor de salida \(c\) está asociado con dos entradas diferentes, \(a\) y \(b\text{.}\) Dicho de otra manera, debido a que la línea horizontal \(y = c\) intersecta el gráfico de \(p\) en ambos puntos \((a,c)\) y \((b,c)\) (como se muestra en la Figura 1.7.6), no podemos ver \(y\) como la entrada a un proceso de función que produce el valor correspondiente de \(x\text{.}\) Por lo tanto, \(p\) no tiene una función inversa.

Por otro lado, siempre y cuando el comportamiento visto en la figura continúe, la función \(q\) sí tiene una inversa porque podemos ver \(x\) como una función de \(y\) a través del gráfico dado en la Figura 1.7.7. Esto se debe a que para cualquier elección de \(y\text{,}\) corresponde un y solo un \(x\) que resulta de \(y\text{.}\) Podemos pensar en esto visualmente comenzando en un valor como \(y = c\) en el eje \(y\text{,}\) moviéndonos horizontalmente hasta donde la línea intersecta el gráfico de \(q\text{,}\) y luego moviéndonos hacia abajo hasta la ubicación correspondiente (aquí \(x = a\)) en el eje horizontal. Del comportamiento del gráfico de \(q\) (una línea recta que siempre está aumentando), vemos que esta correspondencia se mantendrá para cualquier elección de \(y\text{,}\) y por lo tanto \(x\) es una función de \(y\text{.}\) A partir de esto, podemos decir que \(q\) sí tiene una función inversa. Así, podemos escribir que \(q^{-1}(c) = a\text{,}\) lo cual es una manera diferente de expresar el hecho equivalente de que \(q(a) = c\text{.}\)

Las observaciones gráficas que hicimos para la función \(q\) en Ejemplo 1.7.5 proporcionan una prueba general para determinar si una función dada por un gráfico tiene una función inversa correspondiente.

Prueba de la Línea Horizontal.

Una función cuyo gráfico se encuentra en el plano \(x\)-\(y\) tiene una función inversa correspondiente si y solo si cada línea horizontal intersecta el gráfico a lo sumo una vez. Cuando el gráfico pasa esta prueba, la coordenada horizontal de cada punto en el gráfico puede ser vista como una función de la coordenada vertical del punto.

Example 1.7.8.

¿Tienen las funciones \(r\) y \(s\) definidas por

\begin{equation*} y = r(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^3 \text{ y } y = s(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^2 \end{equation*}

funciones inversas correspondientes? Si no, usa razonamiento algebraico para explicar por qué; si es así, demuestra usando álgebra para encontrar una fórmula para la función inversa.

Solution.

Para cualquier función de la forma \(y = f(t)\text{,}\) una forma de determinar si podemos ver la variable de entrada original \(t\) como una función de la variable de salida original \(y\) es intentar resolver la ecuación \(y = f(t)\) para \(t\) en términos de \(y\text{.}\)

Tomando \(y = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^3\text{,}\) intentamos resolver para \(t\) primero restando \(3\) de ambos lados para obtener

\begin{equation*} y - 3 = -\frac{1}{5}(t-1)^3\text{.} \end{equation*}

Luego, multiplicando ambos lados por \(-5\text{,}\) se sigue que

\begin{equation*} (t-1)^3 = -5(y-3)\text{.} \end{equation*}

Dado que la función de raíz cúbica tiene la propiedad de que \(\sqrt[3]{z^3} = z\) para cada número real \(z\) (ya que la función de raíz cúbica es la función inversa de la función de cubo, y cada función tiene tanto un dominio como un rango de todos los números reales), podemos tomar la raíz cúbica de ambos lados de la ecuación anterior para obtener

\begin{equation*} t - 1 = \sqrt[3]{-5(y-3)}\text{.} \end{equation*}

Finalmente, sumando \(1\) a ambos lados, hemos determinado que

\begin{equation*} t = 1 + \sqrt[3]{-5(y-3)}\text{.} \end{equation*}

Dado que hemos podido expresar \(t\) como una única función de \(y\) para cada valor posible de \(y\text{,}\) esto muestra que \(r\) efectivamente tiene una inversa y que \(t = r^{-1}(y) = 1 + \sqrt[3]{-5(y-3)}\text{.}\)

Intentamos un razonamiento similar para la segunda función, \(y = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^2\text{.}\) Para resolver para \(t\text{,}\) primero restamos \(3\) de ambos lados, de modo que

\begin{equation*} y - 3 = -\frac{1}{5}(t-1)^2\text{.} \end{equation*}

Después de multiplicar ambos lados por \(-5\text{,}\) tenemos

\begin{equation*} (t-1)^2 = -5(y-3)\text{.} \end{equation*}

Después, es necesario tomar la raíz cuadrada de ambos lados en un esfuerzo por aislar \(t\text{.}\) Aquí, sin embargo, encontramos un problema crucial. Debido a que la función \(g(x) = x^2\) lleva cualquier número distinto de cero y su opuesto al mismo resultado (por ejemplo, \((-5)^2 = 25 = (5)^2\)), esto significa que tenemos que considerar ambas entradas posibles que resultan en el mismo resultado. Basándonos en nuestra última ecuación, esto significa que o bien

\begin{equation*} t-1 = \sqrt{-5(y-3)} \ \text{ o } \ t-1 = -\sqrt{-5(y-3)}\text{.} \end{equation*}

Por lo tanto, encontramos no una sola ecuación que exprese \(t\) como una función de \(y\text{,}\) sino dos:

\begin{equation*} t = 1 + \sqrt{-5(y-3)} \ \text{ o } \ t = 1 -\sqrt{-5(y-3)}\text{.} \end{equation*}

Dado que parece que \(t\) no puede expresarse como una única función de \(y\text{,}\) parece seguir que \(y = s(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^2\) no tiene una función inversa.

Las gráficas de \(y = r(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^3\) y \(y = s(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^2\) proporcionan una perspectiva diferente para confirmar los resultados de Ejemplo 1.7.8. De hecho, en Figura 1.7.9, vemos que \(r\) parece pasar la prueba de la línea horizontal porque está decreciendo

El cálculo proporciona una forma de justificar completamente que la gráfica de \(r\) está efectivamente siempre decreciendo.

, y por lo tanto tiene una función inversa. Por otro lado, la gráfica de \(s\) no pasa la prueba de la línea horizontal (imagina la línea \(y = 2\) en Figura 1.7.10) y, por lo tanto, \(s\) no tiene una función inversa.

Figure 1.7.9. Una gráfica de \(y = r(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^3\text{.}\)

Figure 1.7.10. Una gráfica de \(y = s(t) = 3 - \frac{1}{5}(t-1)^2\text{.}\)

Activity 1.7.3.

Determina, con justificación, si cada una de las siguientes funciones tiene una función inversa. Para cada función que tenga una función inversa, da dos ejemplos de valores de la función inversa escribiendo declaraciones como “\(s^{-1}(3) = 1\)”.

La función \(f : S \to S\) dada por Tabla 1.7.11, donde \(S = \{0, 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

Table 1.7.11. Valores de \(y = f(x)\text{.}\)

\(x\) 0 1 2 3 4

\(f(x)\) 1 2 4 3 2
La función \(g : S \to S\) dada por Tabla 1.7.12, donde \(S = \{0, 1, 2, 3, 4 \}\text{.}\)

Table 1.7.12. Values of \(y = g(x)\text{.}\)

\(x\) 0 1 2 3 4

\(g(x)\) 4 0 3 1 2
La función \(p\) dada por \(p(t) = 7 - \frac{3}{5}t\text{.}\) Supón que el dominio y el codominio de \(p\) son ambos “todos los números reales”.
La función \(q\) dada por \(q(t) = 7 - \frac{3}{5}t^4\text{.}\) Supón que el dominio y el codominio de \(q\) son ambos “todos los números reales”.
Las funciones \(r\) y \(s\) dadas por las gráficas en Figura 1.7.13 y Figura 1.7.14. Supón que las gráficas muestran todo el comportamiento importante de las funciones y que las tendencias aparentes continúan más allá de lo que está ilustrado.

Figure 1.7.13. La gráfica de \(y = r(t)\text{.}\)

Figure 1.7.14. La gráfica de \(y = s(t)\text{.}\)

Subsection 1.7.3 Propiedades de una función inversa

Cuando una función tiene una función inversa, hemos observado varias relaciones importantes que se mantienen entre la función original y la función inversa correspondiente.

Propiedades de una función inversa.

Sea \(f : A \to B\) una función cuyo dominio es \(A\) y cuyo rango es \(B\) tal que \(f\) tiene una función inversa, \(f^{-1}\text{.}\) Entonces:

\(f^{-1} : B \to A\text{,}\) por lo tanto, el dominio de \(f^{-1}\) es \(B\) y su rango es \(A\text{.}\)
Las funciones \(f\) y \(f^{-1}\) invierten los procesos una de la otra. Simbólicamente, \(f^{-1}(f(a)) = a\) para cada entrada \(a\) en el dominio de \(f\text{,}\) y de manera similar, \(f(f^{-1}(b)) = b\) para cada entrada \(b\) en el dominio de \(f^{-1}\text{.}\)
Si \(y = f(t)\text{,}\) entonces podemos expresar la misma relación desde una perspectiva diferente escribiendo \(t = f^{-1}(y)\text{.}\)
Considera el escenario donde \(A\) y \(B\) son colecciones de números reales. Si un punto \((x,y)\) se encuentra en la gráfica de \(f\text{,}\) entonces se sigue que \(y = f(x)\text{.}\) Desde esto, podemos decir de manera equivalente que \(x = f^{-1}(y)\text{.}\) Por lo tanto, el punto \((y,x)\) se encuentra en la gráfica de \(x = f^{-1}(y)\text{.}\)

El último punto mencionado lleva a una relación especial entre las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) cuando se ven en los mismos ejes de coordenadas. En ese contexto, necesitamos ver \(x\) como la entrada de cada función (ya que es la coordenada horizontal) y \(y\) como la salida. Si conocemos una relación particular de entrada-salida para \(f\text{,}\) digamos \(f(-1) = \frac{1}{2}\text{,}\) entonces se sigue que \(f^{-1} \left( \frac{1}{2} \right) = -1\text{.}\) Observamos que los puntos \(\left(-1, \frac{1}{2} \right)\) y \(\left(\frac{1}{2}, -1 \right)\) son reflejos uno del otro a través de la línea \(y = x\text{.}\) Debido a que tal relación se mantiene para cada punto \((x,y)\) en la gráfica de \(f\text{,}\) esto significa que las gráficas de \(f\) y \(f^{-1}\) son reflejos una de la otra a través de la línea \(y = x\text{,}\) como se ve en Figura 1.7.15.

Figure 1.7.15. La gráfica de una función \(f\) junto con su inversa, \(f^{-1}\text{.}\)

Activity 1.7.4.

Durante una gran tormenta, la lluvia en el Aeropuerto Gerald R. Ford se mide con frecuencia durante un período de \(10\) horas. La siguiente función \(g\) modela la tasa, \(R\text{,}\) a la que cae la lluvia (en cm/hr) en el intervalo de tiempo \(t = 0\) a \(t = 10\text{:}\)

\begin{equation*} R = g(t) = \frac{4}{t+2} + 1\text{.} \end{equation*}

Calcula \(g(3)\) y escribe una oración completa para explicar su significado en el contexto dado, incluyendo unidades.
Calcula la tasa de cambio promedio de \(g\) en el intervalo de tiempo \([3,5]\) y escribe dos oraciones completas y cuidadosas para explicar el significado de este valor en el contexto del problema, incluyendo unidades. Aborda explícitamente lo que el valor que calculas te dice sobre cómo está cayendo la lluvia en un cierto intervalo de tiempo, y lo que deberías esperar a medida que pasa el tiempo.
Grafica la función \(y = g(t)\) usando un dispositivo computacional. En el dominio \([0,10]\text{,}\) ¿cuál es el rango correspondiente de \(g\text{?}\) ¿Por qué la función \(g\) tiene una función inversa?
Determina \(g^{-1} \left( \frac{9}{5} \right)\) y escribe una oración completa para explicar su significado en el contexto dado.
Según el modelo \(g\text{,}\) ¿hay algún momento durante la tormenta en que la lluvia caiga a una tasa de exactamente \(1\) centímetro por hora? ¿Por qué o por qué no? Proporciona una justificación algebraica para tu respuesta.

Subsection 1.7.4 Resumen

Una función dada \(f : A \to B\) tiene una función inversa siempre que exista una función relacionada \(g : B \to A\) que invierta el proceso de \(f\text{.}\) Formalmente, esto significa que \(g\) debe satisfacer \(g(f(a)) = a\) para cada \(a\) en el dominio de \(f\text{,}\) y \(f(g(b)) = b\) para cada \(b\) en el rango de \(f\text{.}\)
Determinamos si una función dada \(f\) tiene una función inversa correspondiente al determinar si el proceso que define \(f\) puede ser invertido para que también podamos pensar en las salidas como una función de las entradas. Si tenemos una gráfica de la función \(f\text{,}\) sabemos que \(f\) tiene una función inversa si la gráfica pasa la Prueba de la Línea Horizontal. Si tenemos una fórmula para la función \(f\text{,}\) digamos \(y = f(t)\text{,}\) sabemos que \(f\) tiene una función inversa si podemos resolver para \(t\) y escribir \(t = f^{-1}(y)\text{.}\)
Un buen resumen de las propiedades de una función inversa se proporciona en el Propiedades de una función inversa.

Exercises 1.7.5 Exercises

1.

Considera las funciones \(p\) y \(q\) cuyos gráficos se dan en la Figura 1.7.16

Figure 1.7.16. Gráficos de las funciones \(p\) y \(q\text{.}\)

Calcula cada uno de los siguientes valores exactamente, o explica por qué no están definidos: \(p^{-1}(2.5)\text{,}\) \(p^{-1}(-2)\text{,}\) \(p^{-1}(0)\text{,}\) y \(q^{-1}(2)\text{.}\)
A partir de tu trabajo en (a), sabes que el punto \((2.5, -3.5)\) se encuentra en el gráfico de \(p^{-1}\text{.}\) Además de los otros dos puntos que conoces de \((a)\text{,}\) encuentra tres puntos adicionales que se encuentren en el gráfico de \(p^{-1}\text{.}\)
En la Figura 1.7.16, traza los \(6\) puntos que has determinado en (a) y (b) que se encuentran en el gráfico de \(y = p^{-1}(x)\text{.}\) Luego, dibuja el gráfico completo de \(y = p^{-1}(x)\text{.}\) ¿Cómo se relacionan los gráficos de \(p\) y \(p^{-1}\) entre sí?

2.

Considera un tanque cónico invertido que se está llenando con agua. El radio del tanque es de \(2\) m y su profundidad es de \(4\) m. Supón que el tanque está inicialmente vacío y se está llenando de tal manera que la altura del agua siempre está subiendo a una tasa de \(0.25\) metros por minuto.

Figure 1.7.18. Ejes para trazar \(V = g(t)\text{.}\)

Explica por qué la altura, \(h\text{,}\) del agua puede verse como una función de \(t\) según la fórmula \(h= f(t) = 0.25t\text{.}\)
¿En qué momento el agua en el tanque tiene una profundidad de \(2.5\) m? ¿En qué momento el tanque está completamente lleno?
Supón que pensamos en el volumen, \(V\text{,}\) de agua en el tanque como una función de \(t\) y llamamos a la función \(V = g(t)\text{.}\) ¿Esperas que la función \(g\) tenga una función inversa? ¿Por qué o por qué no?
Recuerda que el volumen de un cono de radio \(r\) y altura \(h\) es \(V = \frac{\pi}{3} r^2 h\text{.}\) Debido a la forma del tanque, los triángulos similares nos dicen que \(r\) y \(h\) satisfacen la proporción \(r = \frac{1}{2}h\text{,}\) y así

\begin{equation} V = \frac{\pi}{3} \left( \frac{1}{2}h \right)^2 h = \frac{\pi}{12}h^3 \text{.}\tag{1.7.1} \end{equation}

Usa el hecho de que \(h = f(t) = 0.25t\) junto con la Ecuación (1.7.1) para encontrar una fórmula para \(V = g(t)\text{.}\) Dibuja un gráfico de \(V = g(t)\) en los ejes en blanco proporcionados en la Figura 1.7.18. Escribe al menos una oración para explicar por qué \(V = g(t)\) tiene la forma que tiene.
Toma la fórmula para \(V = g(t)\) que determinaste en (d) y resuelve para \(t\) para determinar una fórmula para \(t = g^{-1}(V)\text{.}\) ¿Cuál es el significado de la fórmula que encuentras?
Encuentra el tiempo exacto en que hay \(\frac{8}{3}\pi\) metros cúbicos de volumen en el tanque.

3.

Recuerda que en la Actividad 1.6.3, mostramos que la temperatura en Celsius es una función del número de chirridos por minuto de un grillo de árbol nevado según la fórmula

\begin{equation} C = H(N) = \frac{40}{9} + \frac{5}{36}N\text{.}\tag{1.7.2} \end{equation}

¿Qué tipo de función familiar es \(H\text{?}\) ¿Por qué debe \(H\) tener una función inversa?
Determina una fórmula algebraica para \(N = H^{-1}(C)\text{.}\) Muestra claramente tu trabajo y pensamiento.
¿Cuál es el significado de la afirmación \(72 = H^{-1}\left(\frac{130}{9}\right)\text{?}\)
Determina la tasa de cambio promedio de \(H\) en el intervalo \([40,50]\text{.}\) Escribe una oración completa para explicar el significado del valor que encuentras, incluyendo las unidades del valor. Explica claramente cómo este número describe cómo está cambiando la temperatura.
Determina la tasa de cambio promedio de \(H^{-1}\) en el intervalo \([15,20]\text{.}\) Escribe una oración completa para explicar el significado del valor que encuentras, incluyendo las unidades del valor. Explica claramente cómo este número describe cómo está cambiando el número de chirridos por minuto.

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