Preludio Activo al Cálculo

La función circular que rastrea la altura de un punto en el círculo unitario que recorre en sentido antihorario desde \((1,0)\) como una función del ángulo central correspondiente (en radianes) es una de las funciones más importantes en matemáticas. Por lo tanto, le damos un nombre a la función: la función seno.

Debido a la correspondencia entre la medida del ángulo en radianes y la distancia recorrida en el círculo unitario, también podemos pensar en \(\sin(t)\) como la coordenada \(y\) del punto después de haber recorrido \(t\) unidades en sentido antihorario a lo largo del círculo desde \((1,0)\text{.}\) Nota particularmente que podemos considerar el seno de entradas negativas: por ejemplo, \(\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1\text{.}\)

Basándonos en nuestro trabajo anterior con el círculo unitario, conocemos muchos valores exactos diferentes de la función seno, y los resumimos en Tabla 2.3.6.

Además, si ahora graficamos estos puntos de la manera habitual, como lo hicimos en Actividad de Vista Previa 2.3.1, obtenemos la familiar función de onda circular que proviene de rastrear la altura de un punto que recorre un círculo. A menudo llamamos a la gráfica en Figura 2.3.7 la onda seno.

Dado cualquier ángulo central de medida en radianes \(t\) en el círculo unitario con un lado pasando por el punto \((1,0)\text{,}\) el ángulo genera un punto único \((a,b)\) que se encuentra en el círculo. Así como podemos ver la coordenada \(y\) como una función de \(t\text{,}\) la coordenada \(x\) también es una función de \(t\text{.}\) Por lo tanto, hacemos la siguiente definición.

Nuevamente, debido a la correspondencia entre la medida en radianes de un ángulo y la longitud del arco a lo largo del círculo unitario, podemos ver el valor de \(\cos(t)\) como el seguimiento de la coordenada \(x\) de un punto que recorre el círculo unitario en sentido horario una distancia de \(t\) unidades a lo largo del círculo desde \((1,0)\text{.}\) Ahora usamos los datos y la información que hemos desarrollado sobre el círculo unitario para construir una tabla de valores de \(\cos(t)\) así como una gráfica de la curva que genera.

Mientras trabajamos con las funciones seno y coseno, siempre es útil recordar sus definiciones en términos del círculo unitario y el movimiento de un punto que recorre el círculo. En http://gvsu.edu/s/0xe

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gvsu.edu/s/0xe

puedes explorar e investigar una animación útil de Desmos que muestra cómo este movimiento alrededor del círculo genera cada uno de los gráficos respectivos.

Because the sine function results from tracking the \(y\)-coordinate of a point traversing the unit circle and the cosine function from the \(x\)-coordinate, the two functions have several shared properties of circular functions.

También es revelador yuxtaponer los gráficos de las funciones seno y coseno en los mismos ejes de coordenadas. Cuando lo hacemos, como se ve en Figura 2.3.12, vemos que las curvas pueden ser vistas como traslaciones horizontales una de la otra.

A la luz de las definiciones de las funciones seno y coseno, ahora podemos ver cualquier punto \((x,y)\) en el círculo unitario como de la forma \((\cos(t),\sin(t))\text{,}\) donde \(t\) es la medida del ángulo cuyos vértices son \((1,0)\text{,}\) \((0,0)\) y \((x,y)\text{.}\) Nota particularmente que dado que \(x^2 + y^2 = 1\text{,}\) también es cierto que \(\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1\text{.}\) Llamamos a este hecho la Identidad Trigonométrica Fundamental.

Hay tendencias y patrones adicionales en los gráficos de las dos funciones que exploramos más a fondo en la siguiente actividad.

Hemos establecido que conocemos el valor exacto de \(\sin(t)\) y \(\cos(t)\) para cualquiera de los valores de \(t\) en Table 2.3.6, así como para cualquier \(t \pm 2j\pi\text{,}\) donde \(j\) es un número entero, debido a la periodicidad de las funciones. Pero, ¿qué pasa si queremos saber \(\sin(1.35)\) o \(\cos(\frac{\pi}{5})\) o valores para otras entradas que no están en la tabla?

Cualquier dispositivo informático estándar, como una calculadora científica, Desmos, Geogebra o WolframAlpha, tiene la capacidad de evaluar las funciones seno y coseno en cualquier entrada que deseemos. Debido a que la entrada se ve como un ángulo, cada dispositivo informático tiene la opción de considerar el ángulo en radianes o grados. Es siempre esencial que estés seguro de qué tipo de entrada espera tu dispositivo. Nuestro dispositivo de cálculo preferido es Desmos. En Desmos, puedes cambiar el tipo de entrada entre radianes y grados haciendo clic en el ícono de la llave inglesa en la parte superior derecha y eligiendo las unidades deseadas. La medida en radianes es la predeterminada.

Se necesita una matemática sustancial y sofisticada para permitir que un dispositivo informático evalúe las funciones seno y coseno en cualquier valor que queramos; los algoritmos involucran una idea del cálculo conocida como una serie infinita. Aunque tu dispositivo de cálculo es poderoso, es tanto útil como importante entender el significado de estos valores en el círculo unitario y recordar los puntos especiales para los cuales conocemos exactamente los resultados de las funciones seno y coseno.