¿Por qué surgen los polinomios de manera natural en el estudio de problemas que involucran el volumen y el área de superficie de contenedores tridimensionales como cajas y cilindros?
¿Cómo se pueden usar las funciones polinómicas para aproximar curvas y funciones no polinómicas?
Las funciones polinómicas son las más simples de todas las funciones en matemáticas en parte porque solo involucran multiplicación y suma. En cualquier contexto aplicado donde podamos formular ideas clave usando solo esas operaciones aritméticas, es natural que las funciones polinómicas modelen los fenómenos correspondientes. Por ejemplo, en Activity 1.2.2, vimos que para un tanque esférico de radio \(4\) m llenándose de agua, el volumen de agua en el tanque en un momento dado, \(V\text{,}\) es una función de la profundidad, \(h\text{,}\) del agua en el tanque en el mismo momento según la fórmula
\begin{equation*}
V = f(h) = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\text{.}
\end{equation*}
La función \(f\) es un polinomio de grado \(3\) con un cero repetido en \(h = 0\) y un cero adicional en \(h = 12\text{.}\) Debido a que el tanque tiene un radio de \(4\text{,}\) su altura total es \(8\text{,}\) y por lo tanto el modelo \(V = f(h) = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\) solo es válido en el dominio \(0 \le h \le 8\text{.}\) Esta función polinómica nos dice cómo cambia el volumen de agua en el tanque a medida que \(h\) cambia.
En otras situaciones similares donde consideramos el volumen de una caja, tanque u otro contenedor tridimensional, las funciones polinómicas surgen frecuentemente. Para desarrollar una función modelo que represente una situación física, casi siempre comenzamos dibujando uno o más diagramas de la situación y luego introducimos una o más variables para representar cantidades que están cambiando. A partir de ahí, exploramos las relaciones presentes y trabajamos para expresar una de las cantidades en términos de las otras.
Preview Activity5.3.1.
Un pedazo de cartón que mide \(12 \times 18\) (cada medida en pulgadas) se está convirtiendo en una caja sin tapa. Para hacerlo, se cortan cuadrados de cada esquina del cartón y los lados restantes se pliegan hacia arriba.
Deja que \(x\) sea la longitud del lado de los cuadrados que se cortan de las esquinas del cartón. Dibuja un diagrama etiquetado que muestre la información dada y la variable que se está utilizando.
Determina una fórmula para la función \(V\) cuyo resultado es el volumen de la caja que resulta de un cuadrado de tamaño \(x \times x\) cortado de cada esquina del cartón.
¿Qué tipo familiar de función es \(V\text{?}\)
Si comenzamos con un valor positivo pequeño para \(x\) y dejamos que ese valor se haga más y más grande, ¿cuál es el primer valor de \(x\) que encontramos que hace imposible quitar cuadrados de \(x \times x\) del cartón y aún formar una caja?
¿Cuáles son los ceros de \(V\text{?}\) ¿Cuál es el dominio del modelo \(V\) en el contexto de la caja rectangular?
Subsection5.3.1Volumen, área de superficie y restricciones
En Preview Activity 5.3.1, trabajamos con una caja rectangular que se construye doblando cartón. Uno de los principios clave que necesitábamos usar era el hecho de que el volumen de una caja rectangular de longitud \(l\text{,}\) ancho \(w\) y altura \(h\) es
\begin{equation}
V = lwh\text{.}\tag{5.3.1}
\end{equation}
Figure5.3.1.Una caja rectangular.
Figure5.3.2.Un cilindro circular.
Una forma de recordar la fórmula para el volumen de una caja rectangular es “área de la base por la altura”. Este principio se extiende a otras formas tridimensionales que tienen un área de sección transversal constante. Por ejemplo, el volumen de un cilindro circular con radio \(r\) y altura \(h\) es
\begin{equation}
V = \pi r^2 h\tag{5.3.2}
\end{equation}
ya que el área de la base es \(\pi r^2\text{.}\)
También consideraremos a menudo el área de superficie de un contenedor tridimensional. Para una caja rectangular con longitudes de lado de \(l\text{,}\)\(w\) y \(h\text{,}\) su área de superficie consiste en \(3\) pares de rectángulos: la parte superior e inferior, cada una de área \(lw\text{,}\) los dos lados que son el frente y la parte trasera cuando miramos directamente a la caja, cada uno de área \(lh\text{,}\) y los dos lados restantes de área \(wh\text{.}\) Así, el área de superficie total de la caja es
\begin{equation}
SA = 2lw + 2lh + 2wh\text{.}\tag{5.3.3}
\end{equation}
Para un cilindro circular, su área de superficie es la suma de las áreas de la parte superior e inferior (\(\pi r^2\) cada una), más el área de los “lados”. Si pensamos en cortar el cilindro verticalmente y desplegarlo, la figura resultante es un rectángulo cuyas dimensiones son la altura del cilindro, \(h\text{,}\) por la circunferencia de la base, \(2\pi r\text{.}\) El área del rectángulo es por lo tanto \(2\pi r \cdot h\text{,}\) y por lo tanto el área de superficie total de un cilindro es
\begin{equation}
SA = 2\pi r^2 + 2\pi r h\text{.}\tag{5.3.4}
\end{equation}
Cada una de las ecuaciones de volumen y área de superficie (Equation (5.3.1), Equation (5.3.2), Equation (5.3.3), y Equation (5.3.4)) involucran solo multiplicación y suma, y por lo tanto tienen el potencial de resultar en funciones polinómicas. Sin embargo, en la actualidad, cada una de estas ecuaciones involucra al menos dos variables. La inclusión de restricciones adicionales puede permitirnos usar estas fórmulas para generar funciones polinómicas de una sola variable.
Activity5.3.2.
Según las regulaciones de una empresa de envíos, la circunferencia más la longitud de un paquete que transportan a su tarifa más baja no puede exceder \(120\) pulgadas, donde por circunferencia nos referimos al perímetro de un extremo.
Figure5.3.3.Un paquete rectangular con un extremo cuadrado.
Supón que queremos enviar un paquete que tiene un extremo cuadrado de ancho \(x\) y una longitud total de \(y\text{,}\) ambos medidos en pulgadas.
Etiqueta la imagen proporcionada, usando \(x\) para la longitud de cada lado del extremo cuadrado, y \(y\) para el otro borde del paquete.
¿Cómo resulta la longitud más la circunferencia de \(120\) pulgadas en una ecuación (a menudo llamada ecuación de restricción) que relaciona \(x\) y \(y\text{?}\) Explica y enuncia la ecuación.
Resuelve la ecuación que encontraste en (b) para una de las variables presentes.
Por lo tanto, determina el volumen, \(V\text{,}\) del paquete como una función de una sola variable.
¿Cuál es el dominio de la función \(V\) en el contexto del entorno físico de este problema? (Pista: ni \(x\) ni \(y\) pueden ser iguales a \(0\text{.}\))
Activity5.3.3.
Supón que queremos construir una lata cilíndrica usando \(60\) pulgadas cuadradas de material para la superficie de la lata. En este contexto, ¿cómo depende el volumen de la lata del radio que elijamos?
Deja que la lata cilíndrica tenga un radio de base \(r\) y una altura \(h\text{.}\)
Usa la fórmula para el área de superficie de un cilindro y la restricción dada de que el área de superficie de la lata es \(60\) pulgadas cuadradas para escribir una ecuación que conecte el radio \(r\) y la altura \(h\text{.}\)
Resuelve la ecuación que encontraste en (a) para \(h\) en términos de \(r\text{.}\)
Recuerda que el volumen de un cilindro es \(V = \pi r^2 h\text{.}\) Usa tu trabajo en (b) para escribir \(V\) como una función de la variable única \(r\text{;}\) simplifica la fórmula tanto como sea posible.
¿Cuál es el dominio de la función \(V\) en el contexto del entorno físico de este problema? (Pista: ¿cómo proporciona la restricción en el área de superficie un límite superior para el valor de \(r\text{?}\) Piensa en el área máxima que se puede asignar a la parte superior e inferior de la lata.)
Subsection5.3.2Otras aplicaciones de funciones polinómicas
Un uso diferente de las funciones polinómicas surge con curvas de Bezier. El tipo más común de curva de Bezier utilizada en aplicaciones es la curva de Bezier cúbica, que es una curva dada paramétricamente por una fórmula de la forma \((x(t), y(t))\text{,}\) donde
La curva pasa por los puntos \(A = (x_0,y_0)\) y \(B = (x_3, y_3)\) y los puntos \(C = (x_1, y_1)\) y \(D = (x_2, y_2)\) se llaman puntos de control. En http://gvsu.edu/s/0zC 1
gvsu.edu/s/0zC
, puedes explorar los efectos de mover los puntos de control (en gris) y los puntos en la curva (en negro) para generar diferentes curvas en el plano, similar a la mostrada en Figura 5.3.4.
Figure5.3.4.Una curva de Bezier cúbica con puntos de control en gris.
Figure5.3.5.La letra S en la fuente Palatino, generada por curvas de Bezier.
El principal punto a darse cuenta es que la forma de la curva depende de una familia especial de polinomios cúbicos:
Estos cuatro polinomios cúbicos juegan un papel clave en el diseño gráfico y se utilizan de muchas maneras importantes, incluyendo el diseño de fuentes, como se ve en Figura 5.3.5.
Otra aplicación importante de las funciones polinómicas se encuentra en cómo se pueden usar para aproximar las funciones seno y coseno.
Activity5.3.4.
Entendemos la regla teórica detrás de la función \(f(t) = \sin(t)\text{:}\) dado un ángulo \(t\) en radianes, \(\sin(t)\) mide el valor de la coordenada \(y\) del punto correspondiente en el círculo unitario. Para valores especiales de \(t\text{,}\) hemos determinado el valor exacto de \(\sin(t)\text{.}\) Por ejemplo, \(\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}\text{.}\) Pero nota que no tenemos una fórmula para \(\sin(t)\text{.}\) En su lugar, usamos un botón en nuestra calculadora o un comando en nuestra computadora para encontrar valores como “\(\sin(1.35)\text{.}\)” Resulta que una combinación de cálculo y funciones polinómicas explica cómo las computadoras determinan los valores de la función seno.
, encontrarás una hoja de trabajo de Desmos que ya tiene definida la función seno, junto con una secuencia de polinomios etiquetados \(T_1(x)\text{,}\)\(T_3(x)\text{,}\)\(T_5(x)\text{,}\)\(T_7(x)\text{,}\)\(\ldots\text{.}\) Puedes ver los gráficos de estas funciones haciendo clic en sus respectivos íconos.
¿Para qué valores de \(x\) parece que \(\sin(x) \approx T_1(x)\text{?}\)
¿Para qué valores de \(x\) parece que \(\sin(x) \approx T_3(x)\text{?}\)
¿Para qué valores de \(x\) parece que \(\sin(x) \approx T_5(x)\text{?}\)
¿Qué tendencia general observas? ¿Qué tan buena es la aproximación generada por \(T_{19}(x)\text{?}\)
En una nueva hoja de trabajo de Desmos, grafica la función \(y = \cos(x)\) junto con las siguientes funciones: \(P_2(x) = 1 - \frac{x^2}{2!}\) y \(P_4(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!}\text{.}\) Basándote en los patrones con los coeficientes en los polinomios que aproximan \(\sin(x)\) y los polinomios \(P_2\) y \(P_4\) aquí, conjetura fórmulas para \(P_6\text{,}\)\(P_8\) y \(P_{18}\) y gráficalos. ¿Qué tan bien podemos aproximar \(y = \cos(x)\) usando polinomios?
Subsection5.3.3Resumen
Los polinomios surgen naturalmente en el estudio de problemas que involucran el volumen y el área de superficie de contenedores tridimensionales como cajas y cilindros porque estas fórmulas fundamentalmente involucran sumas y productos de variables. Por ejemplo, el volumen de un cilindro es \(V = \pi r^2 h\text{.}\) En presencia de una restricción de área de superficie que nos dice que \(h = \frac{100-2\pi r^2}{2\pi r}\text{,}\) se sigue que
Las funciones polinómicas se pueden usar para aproximar curvas y funciones no polinómicas de muchas maneras diferentes. Un ejemplo se encuentra en las curvas de Bezier cúbicas que usan una colección de puntos de control para permitir al usuario manipular curvas para que pasen por puntos seleccionados de tal manera que la curva primero viaje en una cierta dirección. Otro ejemplo es en la notable aproximación de funciones no polinómicas como la función seno, como se da por
donde la aproximación es buena para valores de \(x\) cercanos a \(x = 0\text{.}\)
Exercises5.3.4Exercises
1.
Un canal triangular abierto, como se muestra en Figure 5.3.6, se está construyendo de aluminio. El canal tendrá extremos triangulares equiláteros de longitud de lado \(s\) y una longitud de \(l\text{.}\) Queremos que el canal use un total fijo de \(100\) pies cuadrados de aluminio.
Figure5.3.6.Un canal triangular.
¿Cuál es el área de uno de los extremos triangulares equiláteros como función de \(s\text{?}\)
Recuerda que para un objeto con área de sección transversal constante, su volumen es el área de una de esas secciones transversales multiplicada por su altura (o longitud). Por lo tanto, determina una fórmula para el volumen del canal que dependa de \(s\) y \(l\text{.}\)
Encuentra una fórmula que involucre \(s\) y \(l\) para el área de la superficie del canal.
Usa la restricción de que tenemos \(100\) pies cuadrados de aluminio disponible para generar una ecuación que conecte \(s\) y \(l\) y así resolver para \(l\) en términos de \(s\text{.}\)
Usa tu trabajo en (d) y (b) para expresar el volumen del canal, \(V\text{,}\) como una función de solo \(s\text{.}\)
¿Cuál es el dominio de la función \(V\) en el contexto de la situación modelada? ¿Por qué?
2.
Se está construyendo una caja rectangular de manera que su base sea el doble de larga que de ancha. Además, la base y la parte superior de la caja cuestan $\(2\) por pie cuadrado, mientras que los lados cuestan $\(1.50\) por pie cuadrado. Si solo queremos gastar $\(10\) en materiales para la caja, ¿cómo podemos escribir el volumen de la caja como una función de una sola variable? ¿Cuál es el dominio de esta función de volumen? (Pista: primero encuentra el área de la superficie de la caja en términos de dos variables, y luego encuentra una expresión para el costo de la caja en términos de esas mismas variables. Usa el hecho de que el costo está restringido para resolver una variable en términos de otra.)
3.
Supón que queremos que un barril cilíndrico contenga \(8\) pies cúbicos de volumen. Deja que el barril tenga un radio \(r\) y una altura \(h\text{,}\) cada uno medido en pies. ¿Cómo podemos escribir el área de la superficie, \(A\text{,}\) del barril únicamente como una función de \(r\text{?}\)
Dibuja varios posibles dibujos de cómo podría verse el barril. Por ejemplo, ¿qué pasa si el radio es muy pequeño? ¿Cómo se verá la altura en comparación? De igual manera, ¿qué pasa si la altura es muy pequeña?
Usa el hecho de que el volumen está fijado en \(8\) pies cúbicos para establecer una ecuación de restricción y resuelve esa ecuación para \(h\) en términos de \(r\text{.}\)
Recuerda que el área de la superficie de un cilindro es \(A = 2\pi r^2 + 2\pi rh\text{.}\) Usa tu trabajo en (c) para escribir \(A\) como una función de solo \(r\text{.}\)
¿Cuál es el dominio de \(A\text{?}\) ¿Por qué?
Explica por qué \(A\)no es una función polinómica de \(r\text{.}\)
