Preludio Activo al Cálculo

Subsection 5.5.1 Cuando una función racional tiene un “hueco”

Example 5.5.1.

Considera la función racional \(r(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 3x - 4}\) de Actividad de Vista Previa 5.5.1, cuyo numerador es \(p(x) = x^2 - 1\) y cuyo denominador es \(q(x) = x^2 - 3x - 4\text{.}\) Explica por qué el gráfico de \(r\) generado por Desmos u otro dispositivo computacional es incorrecto, e identifica también las ubicaciones de cualquier cero y asíntota vertical de \(r\text{.}\)

Solution.

Es útil con cualquier función racional factorizar el numerador y el denominador. Notamos que \(p(x) = x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) y \(q(x) = x^2 - 3x - 4 = (x+1)(x-4)\text{.}\) El dominio de \(r\) es así el conjunto de todos los números reales excepto \(x = -1\) y \(x = 4\text{,}\) el conjunto de todos los puntos donde \(q(x) \ne 0\text{.}\)

Sabiendo que \(r\) no está definido en \(x = -1\text{,}\) es natural estudiar el gráfico de \(r\) cerca de ese valor. Al graficar la función en Desmos, obtenemos un resultado similar al mostrado en Figura 5.5.2, que parece no mostrar un comportamiento inusual en \(x = -1\text{,}\) e incluso que \(r(-1)\) está definido. Si hacemos zoom en ese punto, como se muestra en Figura 5.5.3, la tecnología aún no logra demostrar visualmente el hecho de que \(r(-1)\) no está definido. Esto se debe a que las utilidades de graficación muestrean funciones en un número finito de puntos y luego conectan los puntos resultantes para generar la curva que vemos.

Sabemos por nuestro trabajo algebraico con el denominador, \(q(x) = (x+1)(x-4)\text{,}\) que \(r\) no está definido en \(x = -1\text{.}\) Mientras el denominador \(q\) se acerca cada vez más a \(0\) a medida que \(x\) se acerca a \(-1\text{,}\) también lo hace el numerador, ya que \(p(x) = (x-1)(x+1)\text{.}\) Si consideramos valores cercanos pero no iguales a \(x = -1\text{,}\) vemos resultados en Tabla 5.5.5.

\(x\)	\(-1.1\)	\(-1.01\)	\(-1.001\)
\(r(x)\)	\(\frac{0.21}{0.51} \approx 0.4118 \)	\(\frac{0.0201}{0.0501} \approx 0.4012\)	\(\frac{0.002001}{0.005001} \approx 0.4001\)
\(x\)	\(-0.9\)	\(-0.99\)	\(-0.999\)
\(r(x)\)	\(\frac{-0.19}{-0.49} \approx 0.3878\)	\(\frac{-0.0199}{-0.0499} \approx 0.3989\)	\(\frac{-0.001999}{-0.004999} \approx 0.3999\)

En la tabla, vemos que tanto el numerador como el denominador se acercan cada vez más a \(0\) a medida que \(x\) se acerca cada vez más a \(-1\text{,}\) pero que su cociente parece acercarse cada vez más a \(y = 0.4\text{.}\) De hecho, vemos este comportamiento en el gráfico de \(r\text{,}\) aunque la utilidad de graficación no muestra el hecho de que \(r(-1)\) en realidad no está definido. Un gráfico preciso de \(r\) cerca de \(x = -1\) debería verse como el presentado en Figura 5.5.4, donde vemos un círculo abierto en el punto \((-1, 0.4)\) que demuestra que \(r(-1)\) no está definido, y que \(r\) no tiene una asíntota vertical ni un cero en \(x = -1\text{.}\)

Finalmente, también notamos que \(p(1) = 0\) y \(q(1) = -6\text{,}\) por lo que en \(x = 1\text{,}\) \(r(x)\) tiene un cero (su numerador es cero y su denominador no lo es). Además, \(q(4) = 0\) y \(p(4) = 15\) (su denominador es cero y su numerador no lo es), por lo que \(r(x)\) tiene una asíntota vertical en \(x = 4\text{.}\) Estas características están representadas con precisión en el gráfico original de Desmos mostrado en Figura 5.5.2.

Subsection 5.5.2 Gráficos de signos y encontrar fórmulas para funciones racionales

Example 5.5.7.

Construye un gráfico de signos para la función \(q(x) = \frac{(x-2)(x^2-9)}{(x-3)(x-1)^2}\text{.}\) Luego, grafica la función \(q\) y compara el gráfico y el gráfico de signos.

Solution.

Primero, factorizamos completamente \(q\) e identificamos los valores de \(x\) que no están en su dominio. Dado que \(x^2-9 = (x-3)(x+3)\text{,}\) vemos que

\begin{equation*} q(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)^2}\text{.} \end{equation*}

Del denominador, observamos que \(q\) no está definida en \(x = 3\) y \(x = 1\) ya que esos valores hacen que los factores \(x - 3 = 0\) o \((x-1)^2 = 0\text{.}\) Así, el dominio de \(q\) es el conjunto de todos los números reales excepto \(x = 1\) y \(x = 3\text{.}\) Del numerador, vemos que tanto \(x = 2\) como \(x = -3\) son ceros de \(q\) ya que estos valores hacen que el numerador sea cero mientras que el denominador no lo es. Esperamos que \(q\) tenga un agujero en \(x = 3\) ya que este valor de \(x\) no está en el dominio y hace que tanto el numerador como el denominador sean \(0\text{.}\) De hecho, calcular valores de \(q\) para \(x\) cerca de \(x = 3\) sugiere que

\begin{equation*} \lim_{x \to 3} q(x) = 1.5\text{,} \end{equation*}

y así \(q\) no cambia de signo en \(x = 3\text{.}\)

Así, tenemos tres valores diferentes de \(x\) para colocar en el gráfico de signos: \(x = -3\text{,}\) \(x = 1\) y \(x = 2\text{.}\) Ahora analizamos el signo de cada uno de los factores en \(q(x) = \frac{(x-2)(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)^2}\) en los varios intervalos. Para \(x \lt -3\text{,}\) \((x-2) \lt 0\text{,}\) \((x-3) \lt 0\text{,}\) \((x+3) \lt 0\) y \((x-1)^2 \gt 0\text{.}\) Así, para \(x \lt -3\text{,}\) el signo de \(q\) es

\begin{equation*} \frac{- - -}{- +} = + \end{equation*}

ya que hay un número par de términos negativos en el cociente.

En el intervalo \(-3 \lt x \lt 1\text{,}\) \((x-2) \lt 0\text{,}\) \((x-3) \lt 0\text{,}\) \((x+3) \gt 0\) y \((x-1)^2 \gt 0\text{.}\) Así, para estos valores de \(x\text{,}\) el signo de \(q\) es

\begin{equation*} \frac{- - +}{- +} = -\text{.} \end{equation*}

Usando un razonamiento similar, podemos completar el gráfico de signos mostrado en Figure 5.5.8. Un gráfico de la función \(q\text{,}\) como se ve en Figure 5.5.9, muestra un comportamiento que coincide con la función de signos, así como la necesidad de identificar manualmente el agujero en \((3, 1.5)\text{,}\) que es pasado por alto por el software de gráficos.

En tanto el gráfico de signos como en la figura, vemos que \(q\) cambia de signo en cada uno de sus ceros, \(x = -3\) y \(x = 2\text{,}\) y que no cambia al pasar por su asíntota vertical en \(x = 1\text{.}\) La razón por la que \(q\) no cambia de signo en la asíntota es debido al factor repetido de \((x-1)^2\) que siempre es positivo.

Subsection 5.5.3 Resumen

• Si una función racional \(r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\) tiene las propiedades de que \(p(a) = 0\) y \(q(a) = 0\) y

  \begin{equation*} \lim_{x \to a} r(x) = L\text{,} \end{equation*}

  entonces \(r\) tiene un agujero en el punto \((a,L)\text{.}\) Este comportamiento puede ocurrir cuando hay un factor coincidente de \((x-a)\) tanto en \(p\) como en \(q\text{.}\)
• Para una función racional \(r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\text{,}\) determinamos dónde la función tiene ceros y dónde tiene asíntotas verticales considerando dónde el numerador y el denominador son \(0\text{.}\) En particular, si \(p(a) = 0\) y \(q(a) \ne 0\text{,}\) entonces \(r(a) = 0\text{,}\) por lo que \(r\) tiene un cero en \(x = a\text{.}\) Y si \(q(a) = 0\) y \(p(a) \ne 0\text{,}\) entonces \(r(a)\) no está definida y \(r\) tiene una asíntota vertical en \(x = a\text{.}\)
• Escribiendo el numerador de una función racional en forma factorizada, podemos generar un gráfico de signos para la función que tenga en cuenta todos los ceros y las asíntotas verticales de la función, que son los únicos puntos donde la función puede cambiar de signo. Probando valores de \(x\) en varios intervalos entre ceros y/o asíntotas verticales, podemos determinar dónde la función racional es positiva y dónde es negativa.