APC Funciones Racionales

Section 5.4 Funciones Racionales

Motivating Questions

¿Qué es una función racional?
¿Cómo podemos determinar información clave sobre una función racional a partir de su estructura algebraica?
¿Por qué son importantes las funciones racionales?

La tasa de cambio promedio de una función en un intervalo siempre implica una razón. De hecho, para una función dada $f$ que nos interesa cerca de $t = 2\text{,}$ podemos investigar su tasa de cambio promedio en intervalos cercanos a este valor considerando

\begin{equation*} AV_{[2,2+h]} = \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\text{.} \end{equation*}

Supón, por ejemplo, que $f$ mide la altura de una pelota en caída en el tiempo $t$ y está dada por $f(t) = -16t^2 + 32t + 48\text{,}$ que resulta ser una función polinómica de grado $2\text{.}$ Para esta función en particular, su tasa de cambio promedio en $[2,2+h]$ es

\begin{align*} AV_{[2,2+h]} &= \frac{f(2+h)-f(2)}{h}\\ &= \frac{-16(2+h)^2 + 32(2+h) + 48 - (-16 \cdot 4 + 32 \cdot 2 + 48)}{h}\\ &= \frac{-64 - 64h - 16h^2 + 64 + 32h + 48 - (48)}{h}\\ &= \frac{-32h - 16h^2}{h}\text{.} \end{align*}

Estructuralmente, observamos que $AV_{[2,2+h]}$ es una razón de las dos funciones $-32h - 16h^2$ y $h\text{.}$ Además, tanto el numerador como el denominador de la expresión son en sí mismos funciones polinómicas de la variable $h\text{.}$ Nota que podemos estar especialmente interesados en lo que ocurre cuando $h \to 0\text{,}$ ya que estos valores nos dirán la velocidad promedio de la pelota en movimiento en intervalos de tiempo cada vez más cortos comenzando en $t = 2\text{.}$ Al mismo tiempo, $AV_{[2,2+h]}$ no está definido para $h = 0\text{.}$

Las razones de funciones polinómicas surgen en varias circunstancias importantes. A veces nos interesa lo que ocurre cuando el denominador se aproxima a $0\text{,}$ lo que hace que la razón total no esté definida. En otras situaciones, podemos querer saber qué ocurre a largo plazo y, por lo tanto, considerar lo que ocurre cuando la variable de entrada aumenta sin límite.

Preview Activity 5.4.1.

Una compañía farmacéutica

Esta actividad está basada en p. 457ff de Functions Modeling Change, por Connally et al.

estima que para producir un nuevo medicamento, costará $5 millones en recursos iniciales, y que una vez que alcancen la producción, cada gramo del medicamento costará $2500 para fabricar.

Determina una fórmula para una función $C(q)$ que modele el costo de producir $q$ gramos del medicamento. ¿Qué tipo familiar de función es $C\text{?}$
La compañía farmacéutica necesita vender el medicamento a un precio de más de $2500 por gramo para al menos cubrir los costos. Para investigar cómo podrían fijar los precios, primero consideran cuál es su costo promedio por gramo. ¿Cuál es el costo total de producir $1000$ gramos? ¿Cuál es el costo promedio por gramo para producir $1000$ gramos?
¿Cuál es el costo total de producir $10000$ gramos? ¿Cuál es el costo promedio por gramo para producir $10000$ gramos?
Nuestros cálculos en (b) y (c) naturalmente nos llevan a definir la función de “costo promedio por gramo”, $A(q)\text{,}$ cuyo resultado es el costo promedio de producir $q$ gramos del medicamento. ¿Cuál es una fórmula para $A(q)\text{?}$
Explica por qué otra fórmula para $A$ es $A(q) = 2500 + \frac{5000000}{q}\text{.}$
¿Qué puedes decir sobre el comportamiento a largo plazo de $A\text{?}$ ¿Qué significa este comportamiento en el contexto del problema?

Subsection 5.4.1 Comportamiento a largo plazo de funciones racionales

Las funciones $AV_{[2,2+h]} = \frac{-32h - 16h^2}{h}$ y $A(q) = \frac{5000000 + 2500q}{q}$ son ambos ejemplos de funciones racionales, ya que cada una es una razón de funciones polinomiales. Formalmente, tenemos la siguiente definición.

Definition 5.4.1.

Una función $r$ es racional siempre que sea posible escribir $r$ como la razón de dos polinomios, $p$ y $q\text{.}$ Es decir, $r$ es racional siempre que para algunas funciones polinomiales $p$ y $q\text{,}$ tengamos

\begin{equation*} r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\text{.} \end{equation*}

Al igual que con las funciones polinomiales, nos interesan preguntas naturales como

¿Cuál es el comportamiento a largo plazo de una función racional dada?
¿Cuál es el dominio de una función racional dada?
¿Cómo podemos determinar dónde el valor de una función racional dada es $0\text{?}$

Comenzamos enfocándonos en el comportamiento a largo plazo de las funciones racionales. Es importante primero recordar nuestro trabajo anterior con funciones de potencia de la forma $p(x) = x^{-n}$ donde $n = 1, 2, \ldots\text{.}$ Para tales funciones, sabemos que $p(x) = \frac{1}{x^n}$ donde $n \gt 0$ y que

\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^n} = 0 \end{equation*}

ya que $x^n$ aumenta sin límite a medida que $x \to \infty\text{.}$ Lo mismo es cierto cuando $x \to -\infty\text{:}$ $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x^n} = 0\text{.}$ Por lo tanto, cada vez que encontramos una cantidad como $\frac{1}{x^3}\text{,}$ esta cantidad se acercará a $0$ a medida que $x$ aumente sin límite, y esto también ocurrirá para cualquier numerador constante. Por ejemplo,

\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} \frac{2500}{x^2} = 0 \end{equation*}

ya que $2500$ veces una cantidad que se acerca a $0$ seguirá acercándose a $0$ a medida que $x$ aumente.

Activity 5.4.2.

Considera la función racional $r(x) = \frac{3x^2 - 5x + 1}{7x^2 + 2x - 11}\text{.}$

Observa que la mayor potencia de $x$ que está presente en $r(x)$ es $x^2\text{.}$ Además, debido a los términos dominantes de $3x^2$ en el numerador y $7x^2$ en el denominador, tanto el numerador como el denominador de $r$ aumentan sin límite a medida que $x$ aumenta sin límite. Para entender el comportamiento a largo plazo de $r\text{,}$ elegimos escribir la función en una forma algebraica diferente.

Nota que podemos multiplicar la fórmula para $r$ por la forma de $1$ dada por $1 = \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}\text{.}$ Hazlo, y distribuye y simplifica tanto como sea posible en el numerador y el denominador para escribir $r$ en una forma algebraica diferente.
Habiendo reescrito $r\text{,}$ estamos en una mejor posición para evaluar $\lim_{x \to \infty} r(x)\text{.}$ Usando nuestro trabajo de (a), tenemos

\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} r(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{7 + \frac{2}{x} - \frac{11}{x^2}}\text{.} \end{equation*}

¿Cuál es el valor exacto de este límite y por qué?
A continuación, determina

\begin{equation*} \lim_{x \to -\infty} r(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{7 + \frac{2}{x} - \frac{11}{x^2}}\text{.} \end{equation*}
Usa Desmos para graficar $r$ en el intervalo $[-10,10]\text{.}$ Además, grafica la línea horizontal $y = \frac{3}{7}\text{.}$ ¿Cuál es el significado de los límites que encontraste en (b) y (c)?

Activity 5.4.3.

Sea $s(x) = \frac{3x - 5}{7x^2 + 2x - 11}$ y $u(x) = \frac{3x^2 - 5x + 1}{7x + 2}\text{.}$ Nota que tanto el numerador como el denominador de cada una de estas funciones racionales aumentan sin límite a medida que $x \to \infty\text{,}$ y además que $x^2$ es el término de mayor orden presente en cada una de $s$ y $u\text{.}$

Usando un enfoque algebraico similar a nuestro trabajo en Activity 5.4.2, multiplica $s(x)$ por $1 = \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}$ y así evalúa

\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} \frac{3x - 5}{7x^2 + 2x - 11}\text{.} \end{equation*}

¿Qué valor encuentras?
Grafica la función $y = s(x)$ en el intervalo $[-10,10]\text{.}$ ¿Cuál es el significado gráfico del límite que encontraste en (a)?
A continuación, usa el trabajo algebraico apropiado para considerar $u(x)$ y evalúa

\begin{equation*} \lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 - 5x + 1}{7x + 2}\text{.} \end{equation*}

¿Qué encuentras?
Grafica la función $y = u(x)$ en el intervalo $[-10,10]\text{.}$ ¿Cuál es el significado gráfico del límite que calculaste en (c)?

Resumimos y generalizamos los resultados de Activity 5.4.2 y Activity 5.4.3 de la siguiente manera.

El comportamiento a largo plazo de una función racional.

Sea $p$ y $q$ funciones polinómicas de modo que $r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ es una función racional. Supón que $p$ tiene grado $n$ con término principal $a_n x^n$ y $q$ tiene grado $m$ con término principal $b_m x^m$ para algunas constantes no nulas $a_n$ y $b_m\text{.}$ Hay tres posibilidades ($n \lt m\text{,}$ $n = m\text{,}$ y $n \gt m$) que resultan en tres comportamientos diferentes de $r\text{:}$

si $n \lt m\text{,}$ entonces el grado del numerador es menor que el grado del denominador, y por lo tanto

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} r(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0} = 0\text{,} \end{equation*}

lo que nos dice que $y = 0$ es una asíntota horizontal de $r\text{;}$
si $n = m\text{,}$ entonces el grado del numerador es igual al grado del denominador, y por lo tanto

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} r(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots + a_0}{b_n x^n + \cdots + b_0} = \frac{a_n}{b_n}\text{,} \end{equation*}

lo que nos dice que $y = \frac{a_n}{b_n}$ (la razón de los coeficientes de los términos de mayor orden en $p$ y $q$) es una asíntota horizontal de $r\text{;}$
si $n \gt m\text{,}$ entonces el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, y por lo tanto

\begin{equation*} \lim_{n \to \infty} r(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{a_n x^n + \cdots + a_0}{b_m x^m + \cdots + b_0} = \pm \infty\text{,} \end{equation*}

(donde el signo del límite depende de los signos de $a_n$ y $b_m$) lo que nos dice que $r$ no tiene una asíntota horizontal.

En ambas situaciones (a) y (b), el valor de $\lim_{x \to -\infty} r(x)$ es idéntico a $\lim_{x \to \infty} r(x)\text{.}$

Subsection 5.4.2 El dominio de una función racional

Dado que una función racional se puede escribir en la forma $r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ para algunas funciones polinómicas $p$ y $q\text{,}$ tenemos que preocuparnos por la posibilidad de que el denominador de una función racional sea cero. Dado que las funciones polinómicas siempre tienen su dominio como el conjunto de todos los números reales, se sigue que cualquier función racional solo está indefinida en los puntos donde su denominador es cero.

El dominio de una función racional.

Sea $p$ y $q$ funciones polinómicas de modo que $r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ es una función racional. El dominio de $r$ es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos para los cuales $q(x) = 0\text{.}$

Example 5.4.2.

Determina el dominio de la función $r(x) = \frac{5x^3 + 17x^2 - 9x + 4}{2x^3 - 6x^2 - 8x}\text{.}$

Solution.

Para encontrar el dominio de cualquier función racional, necesitamos determinar dónde el denominador es cero. La mejor manera de encontrar estos valores exactamente es factorizar el denominador. Así, observamos que

\begin{equation*} 2x^3 - 6x^2 - 8x = 2x(x^2 - 3x - 4) = 2x(x+1)(x-4)\text{.} \end{equation*}

Por la Propiedad del Producto Cero, se sigue que el denominador de $r$ es cero en $x = 0\text{,}$ $x = -1\text{,}$ y $x = 4\text{.}$ Por lo tanto, el dominio de $r$ es el conjunto de todos los números reales excepto $-1\text{,}$ $0\text{,}$ y $4\text{.}$

Notamos que cuando se trata de determinar el dominio de una función racional, el numerador es irrelevante: lo único que importa es dónde el denominador es $0\text{.}$

Activity 5.4.4.

Determina el dominio de cada una de las siguientes funciones. En cada caso, escribe una oración para describir con precisión el dominio.

$\displaystyle \displaystyle f(x) = \frac{x^2-1}{x^2 + 1}$
$\displaystyle \displaystyle g(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3x - 4}$
$\displaystyle \displaystyle h(x) = \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2}$
$\displaystyle \displaystyle j(x) = \frac{(x+5)(x-3)(x+1)(x-4)}{(x+1)(x+3)(x-5)}$
$\displaystyle \displaystyle k(x) = \frac{2x^2 + 7}{3x^3 - 12x}$
$\displaystyle \displaystyle m(x) = \frac{5x^2 - 45}{7(x-2)(x-3)^2(x^2 + 9)(x+1)}$

Subsection 5.4.3 Aplicaciones de funciones racionales

Las funciones racionales surgen naturalmente en el estudio de la tasa promedio de cambio de una función polinómica, llevando a expresiones como

\begin{equation*} AV_{[2,2+h]} = \frac{-32h - 16h^2}{h}\text{.} \end{equation*}

Estudiaremos varios temas sutiles que corresponden a tales funciones más adelante en Section 5.5. Por ahora, nos enfocaremos en un contexto diferente en el cual las funciones racionales juegan un papel clave.

En Section 5.3, encontramos una clase de problemas donde una cantidad clave se modelaba mediante una función polinómica. Descubrimos que si consideramos un contenedor como un cilindro con área de superficie fija, entonces el volumen del contenedor se puede escribir como un polinomio de una sola variable. Por ejemplo, si consideramos un cilindro circular con un área de superficie de $10$ pies cuadrados, entonces sabemos que

\begin{equation*} S = 10 = 2\pi r^2 + 2\pi r h \end{equation*}

y por lo tanto $h = \frac{10 - 2\pi r^2}{2 \pi r}\text{.}$ Dado que el volumen del cilindro es $V = \pi r^2 h\text{,}$ se sigue que

\begin{equation*} V = \pi r^2 h = \pi r^2 \left( \frac{10 - 2\pi r^2}{2 \pi r} \right) = r(5 - \pi r^2)\text{,} \end{equation*}

lo cual es una función polinómica de $r\text{.}$

¿Qué pasa si en lugar de eso fijamos el volumen del contenedor y preguntamos cómo se puede escribir el área de superficie como una función de una sola variable?

Example 5.4.3.

Supón que queremos construir un cilindro circular que contenga $20$ pies cúbicos de volumen. ¿Cuánto material se necesita para construir el contenedor? ¿Cómo podemos expresar la cantidad de material como una función de una sola variable?

Solution.

Descartando cualquier desperdicio, la cantidad de material que se necesita para construir el contenedor es su área de superficie, que sabemos que es

\begin{equation*} S = 2\pi r^2 + 2\pi r h\text{.} \end{equation*}

Dado que queremos que el volumen sea fijo, esto resulta en una ecuación de restricción que nos permite relacionar $r$ y $h\text{.}$ En particular, dado que

\begin{equation*} V = 20 = \pi r^2 h\text{,} \end{equation*}

se sigue que podemos resolver para $h$ y obtener $h = \frac{20}{\pi r^2}\text{.}$ Sustituyendo esta expresión para $h$ en la ecuación para el área de superficie, encontramos que

\begin{equation*} S = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{20}{\pi r^2} = 2 \pi r^2 + \frac{40}{r}\text{.} \end{equation*}

Obteniendo un denominador común, también podemos escribir $S$ en la forma

\begin{equation*} S(r) = \frac{2 \pi r^3 + 40}{r} \end{equation*}

y así vemos que $S$ es una función racional de $r\text{.}$ Debido al contexto físico del problema y al hecho de que el denominador de $S$ es $r\text{,}$ el dominio de $S$ es el conjunto de todos los números reales positivos.

Activity 5.4.5.

Supón que queremos construir una caja rectangular abierta (es decir, sin tapa) que contenga $15$ pies cúbicos de volumen. Si queremos que un lado de la base sea el doble de largo que el otro, ¿cómo depende la cantidad de material requerido del lado más corto de la base? Investigamos esta pregunta a través de la siguiente secuencia de indicaciones.

Dibuja una imagen etiquetada de la caja. Deja que $x$ represente el lado más corto de la base y $h$ la altura de la caja. ¿Cuál es la longitud del lado más largo de la base en términos de $x\text{?}$
Usa la restricción de volumen dada para escribir una ecuación que relacione $x$ y $h\text{,}$ y resuelve la ecuación para $h$ en términos de $x\text{.}$
Determina una fórmula para el área de superficie, $S\text{,}$ de la caja en términos de $x$ y $h\text{.}$
Usando la ecuación de restricción de (b) junto con tu trabajo en (c), escribe el área de superficie, $S\text{,}$ como una función de la variable única $x\text{.}$
¿Qué tipo de función es $S\text{?}$ ¿Cuál es su dominio?
Grafica la función $S$ usando Desmos. ¿Cuál parece ser la menor cantidad de material que se puede usar para construir la caja deseada que contenga $15$ pies cúbicos de volumen?

Subsection 5.4.4 Resumen

Una función racional es una función cuya fórmula se puede escribir como la razón de dos funciones polinómicas. Por ejemplo, $r(x) = \frac{7x^3 - 5x + 16}{-4x^4 + 2x^3 - 11x + 3}$ es una función racional.
Dos aspectos de las funciones racionales son fáciles de determinar para cualquier función racional. Dado $r(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ donde $p$ y $q$ son polinomios, el dominio de $r$ es el conjunto de todos los números reales excepto cualquier valor de $x$ para el cual $q(x) = 0\text{.}$ Además, podemos determinar el comportamiento a largo plazo de $r$ examinando los términos de mayor orden en $p$ y $q\text{:}$
- si el grado de $p$ es menor que el grado de $q\text{,}$ entonces $r$ tiene una asíntota horizontal en $y = 0\text{;}$
- si el grado de $p$ es igual al grado de $q\text{,}$ entonces $r$ tiene una asíntota horizontal en $y = \frac{a_n}{b_n}\text{,}$ donde $a_n$ y $b_n$ son los coeficientes principales de $p$ y $q$ respectivamente;
- y si el grado de $p$ es mayor que el grado de $q\text{,}$ entonces $r$ no tiene una asíntota horizontal.
Dos razones por las que las funciones racionales son importantes son que surgen naturalmente cuando consideramos la tasa promedio de cambio en un intervalo cuya longitud varía y cuando consideramos problemas que relacionan el volumen y el área de superficie de contenedores tridimensionales cuando una de esas dos cantidades está restringida.

Exercises 5.4.5 Exercises

1.

Para cada función racional a continuación, determina el dominio de la función así como cualquier asíntota horizontal.

$\displaystyle \displaystyle f(x) = \frac{17x^2 + 34}{19x^2 - 76}$
$\displaystyle \displaystyle g(x) = \frac{29}{53} + \frac{1}{x-2}$
$\displaystyle \displaystyle h(x) = \frac{4-31x}{11x - 7}$
$\displaystyle \displaystyle r(x) = \frac{151(x-4)(x+5)^2(x-2)}{537(x+5)(x+1)(x^2+1)(x-15)}$

2.

Se está construyendo una caja rectangular de manera que su base sea $1.5$ veces más larga que ancha. Además, supón que el material para la base y la parte superior de la caja cuesta $$3.75$ por pie cuadrado, mientras que el material para los lados cuesta $$2.50$ por pie cuadrado. Finalmente, queremos que la caja tenga $8$ pies cúbicos de volumen.

Dibuja una imagen etiquetada de la caja con $x$ como la longitud del lado más corto de la base de la caja y $h$ como su altura.
Determina una fórmula que involucre $x$ y $h$ para el área total de la superficie, $S\text{,}$ de la caja.
Usa tu trabajo de (b) junto con la información dada sobre el costo para determinar una fórmula para el costo total, $C\text{,}$ de la caja en términos de $x$ y $h\text{.}$
Usa la restricción de volumen dada en el problema para escribir una ecuación que relacione $x$ y $h\text{,}$ y resuelve esa ecuación para $h$ en términos de $x\text{.}$
Combina tu trabajo en (c) y (d) para escribir el costo, $C\text{,}$ de la caja como una función únicamente de $x\text{.}$
¿Cuál es el dominio de la función de costo? ¿Cómo se ve un gráfico de la función de costo? ¿Qué sugiere esto sobre la caja ideal para las restricciones dadas?

3.

Se está construyendo una lata cilíndrica de manera que su volumen sea $16$ pulgadas cúbicas. Supón que el material para las tapas (la parte superior e inferior) cuesta $$0.11$ por pulgada cuadrada y el material para el “lado” de la lata cuesta $$0.07$ por pulgada cuadrada. Determina una fórmula para el costo total de la lata como una función del radio de la lata. ¿Cuál es el dominio de la función y por qué?

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