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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 4.1 Triángulos rectángulos

En Sección 2.3, definimos las funciones coseno y seno como las funciones que rastrean la ubicación de un punto que recorre el círculo unitario en sentido antihorario desde \((1,0)\text{.}\) En particular, para un ángulo central con medida en radianes \(t\) que pasa por el punto \((1,0)\text{,}\) definimos \(\cos(t)\) como la coordenada \(x\) del punto donde el otro lado del ángulo intersecta el círculo unitario, y \(\sin(t)\) como la coordenada \(y\) de ese mismo punto, como se muestra en Figura 4.1.1.
Cambiando nuestra perspectiva ligeramente, podemos ver que es equivalente pensar en los valores de las funciones seno y coseno como representaciones de las longitudes de los catetos en triángulos rectángulos. Específicamente, dado un ángulo central
 1 
En nuestro trabajo con triángulos rectángulos, a menudo representaremos el ángulo por \(\theta\) y pensaremos en este ángulo como fijo, a diferencia de nuestro uso anterior de \(t\) donde frecuentemente pensamos en \(t\) como variable.
\(\theta\) en posición estándar (vértice en el origen, y un lado en el eje \(x\) positivo), si pensamos en el triángulo rectángulo con vértices \((\cos(\theta),0)\text{,}\) \((0,0)\text{,}\) y \((\cos(\theta), \sin(\theta))\text{,}\) entonces la longitud del cateto horizontal es \(\cos(\theta)\) y la longitud del cateto vertical es \(\sin(\theta)\text{,}\) como se ve en Figura 4.1.2.
Figure 4.1.1. Los valores de \(\cos(t)\) y \(\sin(t)\) como coordenadas en el círculo unitario.
Figure 4.1.2. Los valores de \(\cos(\theta)\) y \(\sin(\theta)\) como las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo.
Esta perspectiva del triángulo rectángulo nos permite usar las funciones seno y coseno para determinar información faltante en ciertos triángulos rectángulos. El campo de las matemáticas que estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos se llama trigonometría. Además, es importante recordar tanto el Teorema de Pitágoras como la Identidad Trigonométrica Fundamental. El primero establece que en cualquier triángulo rectángulo con catetos de longitud \(a\) y \(b\) y una hipotenusa de longitud \(c\text{,}\) se cumple que \(a^2 + b^2 = c^2\text{.}\) La segunda, que es un caso especial del Teorema de Pitágoras, dice que para cualquier ángulo \(\theta\text{,}\) \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\text{.}\)

Preview Activity 4.1.1.

Para cada una de las siguientes situaciones, dibuja un triángulo rectángulo que satisfaga las condiciones dadas, y luego determina la información faltante solicitada en el triángulo o explica por qué no tienes suficiente información para determinarla. Supón que todos los ángulos se consideran en medida de radianes.
  1. La longitud del otro cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(1\) y un cateto de longitud \(\frac{3}{5}\text{.}\)
  2. Las longitudes de los dos catetos en un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(1\) donde uno de los ángulos no rectos mide \(\frac{\pi}{3}\text{.}\)
  3. La longitud del otro cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(7\) y un cateto de longitud \(6\text{.}\)
  4. Las longitudes de los dos catetos en un triángulo rectángulo con hipotenusa \(5\) y donde uno de los ángulos no rectos mide \(\frac{\pi}{4}\text{.}\)
  5. La longitud del otro cateto de un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(1\) y un cateto de longitud \(\cos(0.7)\text{.}\)
  6. Las medidas de los dos ángulos en un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(1\) donde los dos catetos tienen longitudes \(\cos(1.1)\) y \(\sin(1.1)\text{,}\) respectivamente.

Subsection 4.1.1 La geometría de los triángulos

En el estudio de las funciones, las funciones lineales son las más simples de todas y forman una base para nuestra comprensión de funciones que tienen otras formas. En el estudio de las formas geométricas (polígonos, círculos y más), la figura más simple de todas es el triángulo, y entender los triángulos es fundamental para entender muchas otras ideas geométricas. Para empezar, enumeramos algunos hechos familiares e importantes sobre los triángulos.
  • Cualquier triángulo tiene \(6\) características importantes: \(3\) lados y \(3\) ángulos.
  • En cualquier triángulo en el plano cartesiano, la suma de las medidas de los ángulos interiores es \(\pi\) radianes (o equivalentemente, \(180^\circ\)).
  • En cualquier triángulo en el plano, conocer tres de las seis características de un triángulo a menudo es suficiente información para determinar las tres características faltantes.
     2 
    Formalmente, esta idea se basa en lo que se llaman criterios de congruencia. Por ejemplo, si conocemos las longitudes de los tres lados, entonces las medidas de los ángulos del triángulo están determinadas de manera única. Esto se llama el Criterio Lado-Lado-Lado (LLL). Probablemente estés familiarizado con LLL, así como con LAL (Lado-Ángulo-Lado), ALA y AAL, que son los cuatro criterios estándar.
La situación es especialmente agradable para los triángulos rectángulos, porque entonces solo tenemos cinco características desconocidas ya que uno de los ángulos es \(\frac{\pi}{2}\) radianes (o \(90^\circ\)), como se demuestra en Figura 4.1.3. Si conocemos uno de los dos ángulos no rectos, entonces también conocemos el otro. Además, si conocemos dos lados, podemos deducir inmediatamente el tercero, debido al Teorema de Pitágoras. Como vimos en Actividad de Previsualización 4.1.1, las funciones coseno y seno ofrecen ayuda adicional para determinar información faltante en triángulos rectángulos. De hecho, mientras que las funciones \(\cos(t)\) y \(\sin(t)\) tienen muchas aplicaciones importantes en la modelización de fenómenos periódicos como masas oscilantes en resortes, también encuentran una aplicación poderosa en contextos que involucran triángulos rectángulos, como en la navegación y la topografía.
Figure 4.1.3. Las \(5\) posibles incógnitas en un triángulo rectángulo.
Dado que conocemos los valores de las funciones coseno y seno del círculo unitario, los triángulos rectángulos con hipotenusa \(1\) son los más fáciles en los que determinar información faltante. Además, podemos relacionar cualquier otro triángulo rectángulo con un triángulo rectángulo con hipotenusa \(1\) a través del concepto de similitud. Recuerda que dos triángulos son similares siempre que uno sea una ampliación del otro. Más precisamente, dos triángulos son similares siempre que haya alguna constante \(k\) tal que cada lado en un triángulo sea \(k\) veces más largo que el lado correspondiente en el otro y los ángulos correspondientes en los dos triángulos sean iguales. Un resultado importante de la geometría nos dice que si se sabe que dos triángulos tienen sus tres ángulos correspondientes iguales, entonces se deduce que los dos triángulos son similares, y por lo tanto sus lados correspondientes deben ser proporcionales entre sí.

Activity 4.1.2.

Considera el triángulo rectángulo \(OPQ\) dado en Figura 4.1.4, y supón que la longitud de la hipotenusa es \(OP = r\) para alguna constante \(r \gt 1\text{.}\) Deja que el punto \(M\) se encuentre en \(\overline{OP}\) (el segmento de línea entre \(O\) y \(P\)) de tal manera que \(OM = 1\text{,}\) y deja que el punto \(N\) se encuentre en \(\overline{OQ}\) de modo que \(\angle ONM\) sea un ángulo recto, como se muestra en la figura. Además, supón que el punto \(O\) corresponde a \((0,0)\text{,}\) el punto \(Q\) a \((x,0)\text{,}\) y el punto \(P\) a \((x,y)\) de modo que \(OQ = x\) y \(PQ = y\text{.}\) Finalmente, deja que \(\theta\) sea la medida de \(\angle POQ\text{.}\)
Figure 4.1.4. Dos triángulos rectángulos \(\triangle OPQ\) y \(\triangle OMN\text{.}\)
  1. Explica por qué \(\triangle OPQ\) y \(\triangle OMN\) son triángulos similares.
  2. ¿Cuál es el valor de la razón \(\frac{OP}{OM}\text{?}\) ¿Qué te dice esto sobre las razones \(\frac{OQ}{ON}\) y \(\frac{PQ}{MN}\text{?}\)
  3. ¿Cuál es el valor de \(ON\) en términos de \(\theta\text{?}\) ¿Cuál es el valor de \(MN\) en términos de \(\theta\text{?}\)
  4. Usa tus conclusiones en (b) y (c) para expresar los valores de \(x\) y \(y\) en términos de \(r\) y \(\theta\text{.}\)

Subsection 4.1.2 Relaciones de lados en triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo con una hipotenusa de longitud \(1\) puede ser visto como situado en posición estándar en el círculo unitario, con un vértice en el origen y un cateto a lo largo del eje \(x\) positivo. Si dejamos que el ángulo formado por la hipotenusa y el cateto horizontal sea representado por \(\theta\text{,}\) entonces el triángulo rectángulo con hipotenusa \(1\) tiene un cateto horizontal de longitud \(\cos(\theta)\) y un cateto vertical de longitud \(\sin(\theta)\text{.}\) Si ahora consideramos un triángulo rectángulo similar con hipotenusa de longitud \(r \ne 1\text{,}\) podemos ver ese triángulo como una ampliación de un triángulo con hipotenusa \(1\text{.}\) Estas observaciones, combinadas con nuestro trabajo en Activity 4.1.2, nos muestran que los catetos horizontales del triángulo rectángulo con hipotenusa \(r\) tienen longitudes \(r\cos(\theta)\) y \(r\sin(\theta)\text{,}\) como se muestra en Figure 4.1.5.
Figure 4.1.5. Los roles de \(r\) y \(\theta\) en un triángulo rectángulo.
De los triángulos similares en Figure 4.1.5, podemos hacer una observación importante sobre las relaciones en triángulos rectángulos. Debido a que los triángulos son similares, las relaciones de los lados correspondientes deben ser iguales, así que si consideramos las dos hipotenusas y los dos catetos horizontales, tenemos
\begin{equation} \frac{r}{1} = \frac{r\cos(\theta)}{\cos(\theta)}\text{.}\tag{4.1.1} \end{equation}
Si reorganizamos Equation (4.1.1) dividiendo ambos lados por \(r\) y multiplicando ambos lados por \(\cos(\theta)\text{,}\) vemos que
\begin{equation} \frac{\cos(\theta)}{1} = \frac{r\cos(\theta)}{r}\text{.}\tag{4.1.2} \end{equation}
Desde una perspectiva geométrica, Equation (4.1.2) nos dice que la relación de la longitud del cateto horizontal de un triángulo rectángulo a la longitud de la hipotenusa del triángulo es siempre la misma (independientemente de \(r\)) y que el valor de esa relación es \(\cos(\theta)\text{,}\) donde \(\theta\) es el ángulo adyacente al cateto horizontal. De manera análoga, la ecuación que involucra las hipotenusas y los catetos verticales de los triángulos similares es
\begin{equation} \frac{r}{1} = \frac{r\sin(\theta)}{\sin(\theta)}\text{,}\tag{4.1.3} \end{equation}
que puede ser reorganizada a
\begin{equation} \frac{\sin(\theta)}{1} = \frac{r\sin(\theta)}{r}\text{.}\tag{4.1.4} \end{equation}
Ecuación (4.1.4) muestra que la relación de la longitud del cateto vertical de un triángulo rectángulo a la longitud de la hipotenusa del triángulo es siempre la misma (independientemente de \(r\)) y que el valor de esa relación es \(\sin(\theta)\text{,}\) donde \(\theta\) es el ángulo opuesto al cateto vertical. Resumimos estas observaciones recientes de la siguiente manera.

Relaciones en triángulos rectángulos.

En un triángulo rectángulo donde uno de los ángulos no rectos es \(\theta\text{,}\) y “adj” denota la longitud del cateto adyacente a \(\theta\text{,}\) “opp” la longitud del lado opuesto a \(\theta\text{,}\) y “hyp” la longitud de la hipotenusa,
\begin{equation*} \cos(\theta) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \text{ y } \sin(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\text{.} \end{equation*}

Activity 4.1.3.

En cada uno de los siguientes escenarios que involucran un triángulo rectángulo, determina los valores exactos de tantas longitudes de lados y medidas de ángulos (en radianes) como puedas. Si hay cantidades que no puedes determinar, explica por qué. Para cada enunciado, dibuja un diagrama etiquetado de la situación.
  1. Un triángulo rectángulo con hipotenusa \(7\) y un ángulo no recto de medida \(\frac{\pi}{7}\text{.}\)
  2. Un triángulo rectángulo con un ángulo no recto \(\alpha\) que satisface \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\text{.}\)
  3. Un triángulo rectángulo donde uno de los ángulos no rectos tiene medida \(1.2\) y la hipotenusa tiene longitud \(2.7\text{.}\)
  4. Un triángulo rectángulo con hipotenusa \(13\) y un cateto de longitud \(6.5\text{.}\)
  5. Un triángulo rectángulo con catetos de longitud \(5\) y \(12\text{.}\)
  6. Un triángulo rectángulo donde uno de los ángulos no rectos tiene medida \(\frac{\pi}{5}\) y el cateto opuesto a este ángulo tiene longitud \(4\text{.}\)

Subsection 4.1.3 Usando una razón que involucra seno y coseno

En Activity 4.1.3, encontramos que en muchos casos donde tenemos un triángulo rectángulo, conocer dos piezas adicionales de información nos permite encontrar las tres cantidades desconocidas restantes en el triángulo. En este punto de nuestros estudios, los siguientes principios generales se mantienen.

Información faltante en triángulos rectángulos.

En cualquier triángulo rectángulo,
  1. si conocemos uno de los ángulos no rectos y la longitud de la hipotenusa, podemos encontrar tanto el ángulo no recto restante como las longitudes de los dos catetos;
  2. si conocemos la longitud de dos lados del triángulo, entonces podemos encontrar la longitud del otro lado;
  3. si conocemos la medida de un ángulo no recto, entonces podemos encontrar la medida del ángulo restante.
En el escenario (1.), todas las \(6\) características del triángulo no solo están determinadas, sino que somos capaces de encontrar sus valores. En (2.), el triángulo está determinado de manera única por la información dada, pero como en Activity 4.1.3 partes (d) y (e), aunque conocemos los valores del seno y el coseno de los ángulos en el triángulo, aún no hemos desarrollado una manera de determinar las medidas de esos ángulos. Finalmente, en el escenario (3.), el triángulo no está determinado de manera única, ya que cualquier versión ampliada del triángulo tendrá los mismos tres ángulos que el dado, y por lo tanto necesitamos más información para determinar la longitud del lado.
Revisaremos el escenario (2) en nuestro trabajo futuro. Ahora, sin embargo, queremos considerar una situación que es similar a (1), pero donde es uno de los catetos del triángulo en lugar de la hipotenusa lo que se conoce. Nos encontramos con esto en Activity 4.1.3 parte (f): un triángulo rectángulo donde uno de los ángulos no rectos es \(\beta = \frac{\pi}{5}\) y el cateto opuesto a este ángulo tiene una longitud de \(4\text{.}\)

Example 4.1.6.

Considera un triángulo rectángulo en el que uno de los ángulos no rectos es \(\beta = \frac{\pi}{5}\) y el cateto opuesto a \(\beta\) tiene una longitud de \(4\text{.}\)
Determina (tanto exactamente como aproximadamente) las medidas de todos los lados y ángulos restantes en el triángulo.
Figure 4.1.7. El triángulo rectángulo dado.
Solution.
Del hecho de que \(\beta = \frac{\pi}{5}\text{,}\) se sigue que \(\alpha = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{5} = \frac{3\pi}{10}\text{.}\) Además, sabemos que
\begin{equation} \sin\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{4}{h}\tag{4.1.5} \end{equation}
y
\begin{equation} \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{x}{h}\tag{4.1.6} \end{equation}
Resolviendo Equation (4.1.5) para \(h\text{,}\) vemos que
\begin{equation} h = \frac{4}{\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}\text{,}\tag{4.1.7} \end{equation}
que es el valor numérico exacto de \(h\text{.}\) Sustituyendo este resultado en Equation (4.1.6), encontramos que
\begin{equation} \cos\left(\frac{\pi}{5}\right) = \frac{x}{\frac{4}{\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}}\text{.}\tag{4.1.8} \end{equation}
Resolver esta ecuación para la única incógnita \(x\) muestra que
\begin{equation*} x = \frac{4 \cos\left(\frac{\pi}{5}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{5}\right)}\text{.} \end{equation*}
Los valores aproximados de \(x\) y \(h\) son \(x \approx 5.506\) y \(h \approx 6.805\text{.}\)
Example 4.1.6 demuestra que una razón de los valores de la función seno y coseno puede ser necesaria para determinar el valor de uno de los lados faltantes de un triángulo rectángulo, y también que puede ser necesario trabajar con dos cantidades desconocidas simultáneamente para determinar ambos valores.

Activity 4.1.4.

Queremos determinar la distancia entre dos puntos \(A\) y \(B\) que están directamente uno frente al otro en lados opuestos de un río, como se muestra en Figure 4.1.8. Marcamos las ubicaciones de esos puntos y caminamos \(50\) metros río abajo desde \(B\) hasta el punto \(P\) y usamos un sextante para medir \(\angle BPA\text{.}\) Si la medida de \(\angle BPA\) es \(56.4^{\circ}\text{,}\) ¿qué tan ancho es el río? ¿Qué otra información sobre la situación puedes determinar?
Figure 4.1.8. Encontrando el ancho del río.

Subsection 4.1.4 Resumen

  • En un triángulo rectángulo con hipotenusa \(1\text{,}\) podemos ver \(\cos(\theta)\) como la longitud del cateto adyacente a \(\theta\) y \(\sin(\theta)\) como la longitud del cateto opuesto a \(\theta\text{,}\) como se ve en Figure 4.1.2. Esto es simplemente un cambio de perspectiva logrado al enfocarse en el triángulo en lugar del círculo unitario.
  • Debido a que un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(r\) puede considerarse una versión escalada de un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(1\text{,}\) podemos concluir que en un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(r\text{,}\) el cateto adyacente al ángulo \(\theta\) tiene una longitud de \(r\cos(\theta)\text{,}\) y el cateto opuesto a \(\theta\) tiene una longitud de \(r\sin(\theta)\text{,}\) como se ve en Figure 4.1.5. Además, en cualquier triángulo rectángulo con ángulo \(\theta\text{,}\) sabemos que
    \begin{equation*} \cos(\theta) = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \text{ y } \sin(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}}\text{.} \end{equation*}
  • En un triángulo rectángulo, hay cinco características adicionales: las medidas de los dos ángulos no rectos y las longitudes de los tres lados. En general, si conocemos uno de esos dos ángulos y uno de los tres lados, podemos determinar todas las piezas restantes.

Exercises 4.1.5 Exercises

1.

Una persona de pie a \(50\) pies de un farol observa que proyecta una sombra de \(14\) pies de largo. Si un rayo de luz desde el farol hasta la punta de la sombra de la persona forma un ángulo de \(27.5^\circ\) con el suelo, ¿cuánto mide la persona y cuánto mide el farol? ¿Qué otra información sobre la situación puedes determinar?

2.

Una persona viendo el lanzamiento de un cohete usa un telémetro láser para medir la distancia desde sí misma hasta el cohete. El telémetro también informa el ángulo al que se está elevando desde la horizontal. En un cierto instante, el telémetro informa que está elevado a un ángulo de \(17.4^\circ\) desde la horizontal y que la distancia al cohete es de \(1650\) metros. ¿A qué altura del suelo está el cohete? Suponiendo una trayectoria vertical en línea recta para el cohete que es perpendicular a la tierra, ¿a qué distancia estaba el cohete del telémetro en el momento del lanzamiento?

3.

Un canalón se construye doblando una hoja rectangular de metal de \(4' \times 24'\text{.}\) Se hacen dos pliegues simétricos a \(2\) pies de distancia paralelos al lado más largo del rectángulo para que el canalón tenga secciones transversales en forma de trapezoide, como se muestra en Figura 4.1.9. Determina una fórmula para \(V(\theta)\text{,}\) el volumen del canalón en función de \(\theta\text{.}\)
Figure 4.1.9. Una sección transversal del canalón.
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