APC Propiedades y aplicaciones de las funciones logarítmicas

Section 3.5 Propiedades y aplicaciones de las funciones logarítmicas

Motivating Questions

¿Qué reglas estructurales obedecen los logaritmos que son similares a las reglas para exponentes?
¿Cuáles son las propiedades clave del gráfico de la función del logaritmo natural?
¿Cómo nos permiten los logaritmos resolver ecuaciones exponenciales?

Los logaritmos surgen como inversos de las funciones exponenciales. Además, hemos motivado su desarrollo por nuestro deseo de resolver ecuaciones exponenciales como $e^k = 3$ para $k\text{.}$ Debido a la relación inversa entre las funciones exponenciales y logarítmicas, hay varias propiedades importantes que tienen los logaritmos que son análogas a las que tienen las funciones exponenciales. Trabajaremos para desarrollar estas propiedades y luego mostraremos cómo son útiles en entornos aplicados.

Preview Activity 3.5.1.

En las siguientes preguntas, investigamos cómo $\log_{10}(a \cdot b)$ puede escribirse de manera equivalente en términos de $\log_{10}(a)$ y $\log_{10}(b)\text{.}$

Escribe $10^x \cdot 10^y$ como $10$ elevado a una sola potencia. Es decir, completa la ecuación

\begin{equation*} 10^x \cdot 10^y = 10^{\Box} \end{equation*}

llenando el cuadro con una expresión apropiada que involucre $x$ y $y\text{.}$
¿Cuál es la forma más simple de escribir $\log_{10}10^x\text{?}$ ¿Y cuál es la expresión equivalente más simple para $\log_{10}10^y\text{?}$
Explica por qué cada uno de los siguientes tres signos de igualdad es válido en la secuencia de igualdades:

\begin{align*} \log_{10}(10^x \cdot 10^y) &= \log_{10}(10^{x+y})\\ &= x+y\\ &= \log_{10}(10^x) + \log_{10}(10^y)\text{.} \end{align*}
Supón que $a$ y $b$ son números reales positivos, por lo que podemos pensar en $a$ como $10^x$ para algún número real $x$ y en $b$ como $10^y$ para algún número real $y\text{.}$ Es decir, di que $a = 10^x$ y $b = 10^y\text{.}$ ¿Qué nos dice nuestro trabajo en (c) sobre $\log_{10}(ab)\text{?}$

Subsection 3.5.1 Propiedades clave de los logaritmos

En Preview Activity 3.5.1, consideramos un argumento de por qué $\log_{10}(ab) = \log_{10}(a) + \log_{10}(b)$ para cualquier elección de números positivos $a$ y $b\text{.}$ En lo que sigue, desarrollamos esta y otras propiedades de la función del logaritmo natural; un razonamiento similar muestra que las mismas propiedades se mantienen para logaritmos de cualquier base.

Sea $a$ y $b$ cualquier número real positivo de modo que $x = \ln(a)$ y $y = \ln(b)$ estén ambos definidos. Observa que podemos reescribir estas dos ecuaciones usando la definición del logaritmo natural de modo que

\begin{equation*} a = e^x \ \text{ y } \ b = e^y\text{.} \end{equation*}

Usando la sustitución, ahora podemos decir que

\begin{equation*} \ln(a \cdot b) = \ln(e^x \cdot e^y)\text{.} \end{equation*}

Por las reglas de los exponentes, sabemos que $\ln(e^x \cdot e^y) = \ln(e^{x+y})\text{,}$ y porque el logaritmo natural y la función exponencial natural son inversos, $\ln(e^{x+y}) = x+y\text{.}$ Combinando las tres ecuaciones más recientes,

\begin{equation*} \ln(a \cdot b) = x + y\text{.} \end{equation*}

Finalmente, recordando que $x = \ln(a)$ y $y = \ln(b)\text{,}$ hemos demostrado que

\begin{equation*} \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b) \end{equation*}

para cualquier elección de números reales positivos $a$ y $b\text{.}$

Una propiedad similar se mantiene para $\ln(\frac{a}{b})\text{.}$ Por un argumento casi idéntico, podemos decir que

\begin{align*} \ln\left( \frac{a}{b} \right) &= \ln\left( \frac{e^x}{e^y} \right)\\ &= \ln \left( e^{x-y} \right)\\ &= x-y\\ &= \ln(a) - \ln(b)\text{.} \end{align*}

Así hemos demostrado los siguientes principios generales.

Logaritmos de productos y cocientes.

Para cualquier número real positivo $a$ y $b\text{,}$

$\displaystyle \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\displaystyle \ln\left( \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b)$

Dado que los exponentes enteros positivos son una forma abreviada de expresar la multiplicación repetida, podemos usar la regla de multiplicación para logaritmos para pensar también en los exponentes. Por ejemplo,

\begin{equation*} \ln(a^3) = \ln(a \cdot a \cdot a)\text{,} \end{equation*}

y mediante la aplicación repetida de la regla para el logaritmo natural de un producto, vemos

\begin{equation*} \ln(a^3) = \ln(a) + \ln(a) + \ln(a) = 3\ln(a)\text{.} \end{equation*}

Un argumento similar funciona para demostrar que para cada número natural $n\text{,}$

\begin{equation*} \ln(a^n) = n\ln(a)\text{.} \end{equation*}

Se puede usar matemáticas más sofisticadas para demostrar que la siguiente propiedad se mantiene para cada exponente real $t\text{.}$

Logaritmos de expresiones exponenciales.

Para cualquier número real positivo $a$ y cualquier número real $t\text{,}$

\begin{equation*} \ln(a^t) = t\ln(a)\text{.} \end{equation*}

La regla que $\ln(a^t) = t\ln(a)$ es extremadamente poderosa: al trabajar con logaritmos de manera adecuada, nos permite pasar de tener una variable en una expresión exponencial a que la variable sea parte de una expresión lineal. Además, nos permite resolver ecuaciones exponenciales exactamente, independientemente de la base involucrada.

Example 3.5.1.

Resuelve la ecuación $7 \cdot 3^t - 1 = 5$ exactamente para $t\text{.}$

Solution.

Para resolver para $t\text{,}$ primero resolvemos para $3^t\text{.}$ Sumando $1$ a ambos lados y dividiendo por $7\text{,}$ encontramos que $3^t = \frac{6}{7} \text{.}$ Luego, tomamos el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación. Haciendo esto, tenemos

\begin{equation*} \ln \left( 3^t \right) = \ln \left( \frac{6}{7} \right)\text{.} \end{equation*}

Aplicando la regla para el logaritmo de una expresión exponencial a la izquierda, vemos que $t \ln(3) = \ln \left( \frac{6}{7} \right) \text{.}$ Tanto $\ln(3)$ como $\ln \left( \frac{6}{7} \right)$ son simplemente números, y así concluimos que

\begin{equation*} t = \frac{\ln \left( \frac{6}{7} \right)}{\ln(3)}\text{.} \end{equation*}

El enfoque utilizado en Example 3.5.1 funciona en una amplia gama de configuraciones: cada vez que tenemos una ecuación exponencial de la forma $p \cdot q^t + r = s\text{,}$ podemos resolver para $t$ primero aislando la expresión exponencial $q^t$ y luego tomando el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación.

Activity 3.5.2.

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones exactamente y luego encuentra una estimación que sea precisa a 5 decimales.

$\displaystyle 3^t = 5$
$\displaystyle 4 \cdot 2^t - 2 = 3$
$\displaystyle 3.7 \cdot (0.9)^{0.3t} + 1.5 = 2.1$
$\displaystyle 72 - 30(0.7)^{0.05t} = 60$
$\displaystyle \ln(t) = -2$
$\displaystyle 3 + 2\log_{10}(t) = 3.5$

Subsection 3.5.2 El gráfico del logaritmo natural

Como el inverso de la función exponencial natural $E(x) = e^x\text{,}$ ya hemos establecido que el logaritmo natural $N(x) = \ln(x)$ tiene el conjunto de todos los números reales positivos como su dominio y el conjunto de todos los números reales como su rango. Además, siendo el inverso de $E(x) = e^x\text{,}$ sabemos que cuando graficamos las funciones de logaritmo natural y exponencial natural en los mismos ejes de coordenadas, sus gráficos son reflejos uno del otro a través de la línea $y = x\text{,}$ como se ve en Figura 3.5.2 y Figura 3.5.3.

Figure 3.5.2. Las funciones exponencial natural y logaritmo natural en el intervalo $[-3,3]\text{.}$

Figure 3.5.3. Las funciones exponencial natural y logaritmo natural en el intervalo $[-15,15]\text{.}$

De hecho, para cualquier punto $(a,b)$ que se encuentra en el gráfico de $E(x) = e^x\text{,}$ se sigue que el punto $(b,a)$ se encuentra en el gráfico del inverso $N(x) = \ln(x)\text{.}$ A partir de esto, vemos varias propiedades importantes del gráfico de la función logarítmica.

El gráfico de $y = \ln(x)$.

El gráfico de $y = \ln(x)$

pasa por el punto $(1,0)\text{;}$
siempre está aumentando;
siempre es cóncavo hacia abajo; y
aumenta sin límite.

Debido a que el gráfico de $E(x) = e^x$ aumenta cada vez más rápidamente a medida que $x$ aumenta, el gráfico de $N(x) = \ln(x)$ aumenta cada vez más lentamente a medida que $x$ aumenta. Aunque la función del logaritmo natural crece muy lentamente, crece sin límite porque podemos hacer $\ln(x)$ tan grande como queramos haciendo $x$ suficientemente grande. Por ejemplo, si queremos $x$ tal que $\ln(x) = 100\text{,}$ elegimos $x = e^{100}\text{,}$ ya que $\ln(e^{100}) = 100\text{.}$

Aunque la función exponencial natural y el logaritmo natural (y las transformaciones de estas funciones) están conectadas y tienen ciertas propiedades similares, también es importante poder distinguir entre el comportamiento que es fundamentalmente exponencial y el que es fundamentalmente logarítmico.

Activity 3.5.3.

En las preguntas que siguen, comparamos y contrastamos las propiedades y comportamientos de las funciones exponenciales y logarítmicas.

Sea $f(t) = 1 - e^{-(t-1)}$ y $g(t) = \ln(t)\text{.}$ Grafica cada función en el mismo conjunto de ejes de coordenadas. ¿Qué propiedades tienen en común las dos funciones? ¿En qué propiedades difieren las dos funciones? Considera el dominio, rango, intersección con el eje $t\text{,}$ intersección con el eje $y\text{,}$ comportamiento creciente/decreciente, concavidad y comportamiento a largo plazo de cada función.
Sea $h(t) = a - be^{-k(t-c)}\text{,}$ donde $a\text{,}$ $b\text{,}$ $c$ y $k$ son constantes positivas. Describe $h$ como una transformación de la función $E(t) = e^t\text{.}$
Sea $r(t) = a + b\ln(t-c)\text{,}$ donde $a\text{,}$ $b$ y $c$ son constantes positivas. Describe $r$ como una transformación de la función $L(t) = \ln(t)\text{.}$
Los datos de la altura de un árbol se dan en la Tabla 3.5.4; el tiempo $t$ se mide en años y la altura se da en pies. En http://gvsu.edu/s/0yy
¹
gvsu.edu/s/0yy
, puedes encontrar una hoja de trabajo de Desmos con estos datos ya ingresados.

Table 3.5.4. La altura de un árbol como función del tiempo $t$ en años.

$t$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

$h(t)$ 6 9.5 13 15 16.5 17.5 18.5 19 19.5 19.7 19.8

¿Crees que estos datos se modelan mejor con una función logarítmica de la forma $p(t) = a + b\ln(t-c)$ o con una función exponencial de la forma $q(t) = m + ne^{-rt}\text{?}$ Proporciona razones basadas en cómo aparecen los datos y cómo crees que crece un árbol, así como experimentando con los deslizadores apropiadamente en Desmos. (Nota: puede que necesites ajustar los límites superior e inferior de varios de los deslizadores para que coincidan bien con los datos.)

Subsection 3.5.3 Poniendo los logaritmos a trabajar

Hemos visto en varios contextos diferentes que la función $e^{kt}$ juega un papel clave en la modelización de fenómenos en el mundo que nos rodea. También entendemos que el valor de $k$ controla si $e^{kt}$ está aumentando ($k \gt 0$) o disminuyendo ($k \lt 0$) y qué tan rápido la función está aumentando o disminuyendo. Como tal, a menudo necesitamos determinar el valor de $k$ a partir de los datos que se nos presentan; hacerlo casi siempre requiere el uso de logaritmos.

Example 3.5.5.

Una población de células bacterianas está creciendo a una tasa proporcional al número de células presentes en un momento dado $t$ (en horas). Supón que el número de células, $P\text{,}$ en la población se mide en millones de células y sabemos que $P(0) = 2.475$ y $P(10) = 4.298\text{.}$ Encuentra un modelo de la forma $P(t) = Ae^{kt}$ que se ajuste a estos datos y úsalo para determinar el valor de $k$ y cuánto tiempo tomará para que la población alcance $1$ mil millones de células.

Solution.

Dado que el modelo tiene la forma $P(t) = Ae^{kt}\text{,}$ sabemos que $P(0) = A\text{.}$ Debido a que se nos da que $P(0) = 2.475\text{,}$ esto muestra que $A = 2.475\text{.}$ Para encontrar $k\text{,}$ usamos el hecho de que $P(10) = 4.298\text{.}$ Aplicando esta información, $A = 2.475\text{,}$ y la forma del modelo, $P(t) = Ae^{kt}\text{,}$ vemos que

\begin{equation*} 4.298 = 2.475 e^{k \cdot 10}\text{.} \end{equation*}

Para resolver $k\text{,}$ primero aislamos $e^{10k}$ dividiendo ambos lados por $2.475$ para obtener

\begin{equation*} e^{10k} = \frac{4.298}{2.475} \text{.} \end{equation*}

Tomando el logaritmo natural de cada lado, encontramos

\begin{equation*} 10k = \ln \left( \frac{4.298}{2.475} \right)\text{,} \end{equation*}

y así $k = \frac{1}{10}\ln \left( \frac{4.298}{2.475} \right) \approx 0.05519\text{.}$

Para determinar cuánto tiempo tomará para que la población alcance $1$ mil millones de células, necesitamos resolver la ecuación $P(t) = 1000\text{.}$ Usando nuestro trabajo anterior para encontrar $A$ y $k\text{,}$ sabemos que necesitamos resolver la ecuación

\begin{equation*} 1000 = 2.475 e^{\frac{1}{10}\ln \left( \frac{4.298}{2.475} \right)t}\text{.} \end{equation*}

Dividimos ambos lados por $2.475$ para obtener $e^{\frac{1}{10}\ln \left( \frac{4.298}{2.475} \right)t} = \frac{1000}{2.475}\text{,}$ y después de tomar el logaritmo natural de cada lado, vemos

\begin{equation*} \frac{1}{10}\ln \left( \frac{4.298}{2.475} \right)t = \ln \left( \frac{1000}{2.475} \right)\text{,} \end{equation*}

de modo que

\begin{equation*} t = \frac{10 \ln \left( \frac{1000}{2.475} \right)}{\ln \left( \frac{4.298}{2.475} \right)} \approx 108.741\text{.} \end{equation*}

Activity 3.5.4.

Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones para el valor exacto de $k\text{.}$

$\displaystyle 41 = 50e^{-k \cdot 7}$
$\displaystyle 65 = 34 + 47e^{-k \cdot 45}$
$\displaystyle 7e^{2k-1} + 4 = 32$
$\displaystyle \frac{5}{1+2e^{-10k}} = 4$

Subsection 3.5.4 Resumen

Hay tres reglas fundamentales para los exponentes dado un base no cero $a$ y exponentes $m$ y $n\text{:}$

\begin{equation*} a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}, \text{ y } (a^m)^n = a^{mn}\text{.} \end{equation*}

Para los logaritmos
²
Estas reglas se enuncian para el logaritmo natural, pero son válidas para cualquier logaritmo de cualquier base.
, tenemos las siguientes reglas estructurales análogas para números reales positivos $a$ y $b$ y cualquier número real $t\text{:}$

\begin{equation*} \ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b), \ln \left( \frac{a}{b} \right) = \ln(a) - \ln(b), \text{ y } \ln(a^t) = t \ln(a)\text{.} \end{equation*}
El dominio del logaritmo natural es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de todos los números reales. Su gráfica pasa por $(1,0)\text{,}$ siempre está aumentando, siempre es cóncava hacia abajo y aumenta sin límite.
Los logaritmos son muy importantes para determinar valores que surgen en ecuaciones de la forma

\begin{equation*} a^b = c\text{,} \end{equation*}

donde $a$ y $c$ son conocidos, pero $b$ no lo es. En este contexto, podemos tomar el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para encontrar que

\begin{equation*} \ln(a^b) = \ln(c) \end{equation*}

y así $b\ln(a) = \ln(c)\text{,}$ de modo que $b = \frac{\ln(c)}{\ln(a)}\text{.}$

Exercises 3.5.5 Exercises

1.

Para una población que está creciendo exponencialmente según un modelo de la forma $P(t) = Ae^{kt}\text{,}$ el tiempo de duplicación es la cantidad de tiempo que tarda la población en duplicarse. Para cada población descrita a continuación, supón que la función está creciendo exponencialmente según un modelo $P(t) = Ae^{kt}\text{,}$ donde $t$ se mide en años.

Supón que una cierta población tiene inicialmente $100$ miembros y se duplica después de $3$ años. ¿Cuáles son los valores de $A$ y $k$ en el modelo?
Se observa que una población diferente satisface $P(4) = 250$ y $P(11) = 500\text{.}$ ¿Cuál es el tiempo de duplicación de la población? ¿Cuándo habrá $2000$ miembros de la población?
Se observa que otra población tiene un tiempo de duplicación $t = 21\text{.}$ ¿Cuál es el valor de $k$ en el modelo?
¿Cómo se relaciona $k$ con el tiempo de duplicación de una población, independientemente de cuánto tiempo sea el tiempo de duplicación?

2.

Se compra un coche nuevo por $$28000\text{.}$ Exactamente $1$ año después, el valor del coche es $$23200\text{.}$ Supón que el valor del coche en dólares, $V\text{,}$ $t$ años después de la compra decae exponencialmente según un modelo de la forma $V(t) = Ae^{-kt}\text{.}$

Determina los valores exactos de $A$ y $k$ en el modelo.
¿Cuántos años tardará hasta que el valor del coche sea $$10000\text{?}$
Supón que en lugar de que el valor del coche decaiga hasta $$0\text{,}$ la cantidad mínima en dólares que su valor se aproxima es $$500\text{.}$ Explica por qué un modelo de la forma $V(t) = Ae^{-kt} + c$ es más apropiado.
Bajo las suposiciones originales ($V(0) = 28000$ y $V(1) = 23200$) junto con la condición en (c) de que el valor del coche se aproximará a $$500$ a largo plazo, determina los valores exactos de $A\text{,}$ $k$ y $c$ en el modelo $V(t) = Ae^{-kt} + c\text{.}$ ¿Son los valores de $A$ y $k$ los mismos o diferentes del modelo explorado en (a)? ¿Por qué?

3.

En Exercise 3.4.5.2, exploramos gráficamente cómo la función $y = \log_b(x)$ puede ser vista como un estiramiento vertical del logaritmo natural, $y = \ln(x)\text{.}$ En este ejercicio, determinamos el valor exacto del estiramiento vertical que se necesita.

Recuerda que $\log_b(x)$ es la potencia a la que elevamos $b$ para obtener $x\text{.}$

Escribe la ecuación $y = \log_b(x)$ como una ecuación equivalente que involucre exponentes sin logaritmos presentes.
Toma la ecuación que encontraste en (a) y toma el logaritmo natural de cada lado.
Usa reglas y propiedades de los logaritmos apropiadamente para resolver la ecuación de (b) para $y\text{.}$ Tu resultado aquí debería expresar $y$ en términos de $\ln(x)$ y $\ln(b)\text{.}$
Recuerda que $y = \log_b(x)\text{.}$ Explica por qué la siguiente ecuación (a menudo llamada la Regla de Oro para Logaritmos) es verdadera:

\begin{equation*} \log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}\text{.} \end{equation*}
¿Cuál es el valor de $k$ que nos permite expresar la función $y = \log_b(x)$ como un estiramiento vertical de la función $y = \ln(x)\text{?}$

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