APC La Tasa de Cambio Promedio de una Función

Section 1.3 La Tasa de Cambio Promedio de una Función

Motivating Questions

¿Qué queremos decir con la tasa de cambio promedio de una función en un intervalo?
¿Qué mide la tasa de cambio promedio de una función? ¿Cómo interpretamos su significado en contexto?
¿Cómo está conectada la tasa de cambio promedio de una función con una línea que pasa por dos puntos en la curva?

Dada una función que modela un cierto fenómeno, es natural hacer preguntas como “¿cómo está cambiando la función en un intervalo dado?” o “¿en qué intervalo está cambiando la función más rápidamente?” El concepto de tasa de cambio promedio nos permite hacer estas preguntas más precisas matemáticamente. Inicialmente, nos enfocaremos en la tasa de cambio promedio de un objeto que se mueve a lo largo de un camino en línea recta.

Para una función \(s\) que indica la ubicación de un objeto en movimiento a lo largo de un camino recto en el tiempo \(t\text{,}\) definimos la tasa de cambio promedio de \(s\) en el intervalo \([a,b]\) como la cantidad

\begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{s(b)-s(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}

Nota especialmente que la tasa de cambio promedio de \(s\) en \([a,b]\) mide el cambio en la posición dividido por el cambio en el tiempo.

Preview Activity 1.3.1.

Sea la función de altura para una pelota lanzada verticalmente dada por \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{,}\) donde \(t\) se mide en segundos y \(s\) se mide en pies sobre el suelo.

Calcula el valor de \(AV_{[1.5,2.5]}\text{.}\)
¿Cuáles son las unidades de la cantidad \(AV_{[1.5,2.5]}\text{?}\) ¿Cuál es el significado de este número en el contexto de la pelota que sube y baja?
En Desmos, grafica la función \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\) junto con los puntos \((1.5,s(1.5))\) y \((2.5, s(2.5))\text{.}\) Haz una copia de tu gráfico en los ejes en Figura 1.3.1, etiquetando puntos clave así como la escala en tus ejes. ¿Cuál es el dominio del modelo? ¿El rango? ¿Por qué?

Figure 1.3.1. Ejes para graficar la función de posición.
Trabaja a mano para encontrar la ecuación de la línea que pasa por los puntos \((1.5,s(1.5))\) y \((2.5, s(2.5))\text{.}\) Escribe la línea en la forma \(y = mt + b\) y grafica la línea en Desmos, así como en los ejes anteriores.
¿Cuál es una interpretación geométrica del valor \(AV_{[1.5,2.5]}\) a la luz de tu trabajo en las preguntas anteriores?
¿Cómo cambian tus respuestas en las preguntas anteriores si en lugar de eso consideramos el intervalo \([0.25, 0.75]\text{?}\) \([0.5, 1.5]\text{?}\) \([1,3]\text{?}\)

Subsection 1.3.1 Definiendo e interpretando la tasa de cambio promedio de una función

En el contexto de una función que mide la altura o posición de un objeto en movimiento en un momento dado, el significado de la tasa de cambio promedio de la función en un intervalo dado es la velocidad promedio del objeto en movimiento porque es la razón entre el cambio en la posición y el cambio en el tiempo. Por ejemplo, en Actividad de Vista Previa 1.3.1, las unidades de \(AV_{[1.5,2.5]} = -32\) son “pies por segundo” ya que las unidades en el numerador son “pies” y en el denominador “segundos”. Además, \(-32\) es numéricamente el mismo valor que la pendiente de la línea que conecta los dos puntos correspondientes en el gráfico de la función de posición, como se ve en Figura 1.3.2. El hecho de que la tasa de cambio promedio sea negativa en este ejemplo indica que la pelota está cayendo.

Figure 1.3.2. La tasa de cambio promedio de \(s\) en \([1.5,2.5]\) para la función en Actividad de Vista Previa 1.3.1.

Figure 1.3.3. La tasa de cambio promedio de una función abstracta \(f\) en el intervalo \([a,b]\text{.}\)

Mientras que la tasa de cambio promedio de una función de posición nos dice la velocidad promedio del objeto en movimiento, en otros contextos, la tasa de cambio promedio de una función puede definirse de manera similar y tiene una interpretación relacionada. Hacemos la siguiente definición formal.

Definition 1.3.4.

Para una función \(f\) definida en un intervalo \([a,b]\text{,}\) la tasa de cambio promedio de \(f\) en \([a,b]\) es la cantidad

\begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}

En cada situación, las unidades de la tasa de cambio promedio nos ayudan a interpretar su significado, y esas unidades son siempre “unidades de salida por unidad de entrada.” Además, la tasa de cambio promedio de \(f\) en \([a,b]\) siempre corresponde a la pendiente de la línea entre los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\text{,}\) como se ve en Figura 1.3.3.

Activity 1.3.2.

Según el censo de EE. UU., las poblaciones de los condados de Kent y Ottawa en Michigan, donde se encuentra GVSU

Grand Rapids está en Kent, Allendale en Ottawa.

desde 1960 hasta 2010, medidas en intervalos de \(10\) años, se presentan en las siguientes tablas.

Table 1.3.5. Datos de población del condado de Kent.

1960	1970	1980	1990	2000	2010
363,187	411,044	444,506	500,631	574,336	602,622

Table 1.3.6. Datos de población del condado de Ottawa.

1960	1970	1980	1990	2000	2010
98,719	128,181	157,174	187,768	238,313	263,801

Sea \(K(Y)\) la población del condado de Kent en el año \(Y\) y \(W(Y)\) la población del condado de Ottawa en el año \(Y\text{.}\)

Calcula \(AV_{[1990,2010]}\) para ambos \(K\) y \(W\text{.}\)
¿Cuáles son las unidades de cada una de las cantidades que calculaste en (a.)?
Escribe una frase cuidadosa que explique el significado de la tasa de cambio promedio de la población del condado de Ottawa en el intervalo de tiempo \([1990,2010]\text{.}\) Tu frase debería comenzar algo así: “En un año promedio entre 1990 y 2010, la población del condado de Ottawa fue \(\ldots\)”
¿Qué condado tuvo una mayor tasa de cambio promedio durante el intervalo de tiempo \([2000,2010]\text{?}\) ¿Hubo algún intervalo en el que uno de los condados tuviera una tasa de cambio promedio negativa?
Usando los datos proporcionados, ¿qué predices que será la población del condado de Ottawa en 2018? ¿Por qué?

La tasa de cambio promedio de una función en un intervalo nos proporciona una excelente manera de describir cómo se comporta la función, en promedio. Por ejemplo, si calculamos \(AV_{[1970,2000]}\) para el condado de Kent, encontramos que

\begin{equation*} AV_{[1970,2000]} = \frac{574,336 - 411,044}{30} = 5443.07\text{,} \end{equation*}

lo que nos dice que en un año promedio desde 1970 hasta 2000, la población del condado de Kent aumentó en aproximadamente \(5443\) personas. Dicho de otra manera, también podríamos decir que de 1970 a 2000, el condado de Kent estaba creciendo a una tasa promedio de \(5443\) personas por año. Estas ideas también permiten la oportunidad de hacer comparaciones a lo largo del tiempo. Dado que

\begin{equation*} AV_{[1990,2000]} = \frac{574,336 - 500,631}{10} = 7370.5\text{,} \end{equation*}

no solo podemos decir que la población del condado de Kent aumentó en aproximadamente \(7370\) en un año promedio entre 1990 y 2000, sino también que la población estaba creciendo más rápido de 1990 a 2000 que de 1970 a 2000.

Finalmente, podemos incluso usar la tasa de cambio promedio de una función para predecir el comportamiento futuro. Dado que la población estaba cambiando en promedio en \(7370.5\) personas por año desde 1990 hasta 2000, podemos estimar que la población en 2002 es

\begin{equation*} K(2002) \approx K(2000) + 2 \cdot 7370.5 = 574,336 + 14,741 = 589,077\text{.} \end{equation*}

Subsection 1.3.2 Cómo la tasa de cambio promedio indica tendencias en la función

Ya hemos visto que es natural usar palabras como “creciendo” y “disminuyendo” para describir el comportamiento de una función. Por ejemplo, para la pelota de tenis cuya altura está modelada por \(s(t) = 64 - 16(t-1)^2\text{,}\) calculamos que \(AV_{[1.5,2.5]} = -32\text{,}\) lo que indica que en el intervalo \([1.5,2.5]\text{,}\) la altura de la pelota de tenis está disminuyendo a una tasa promedio de \(32\) pies por segundo. De manera similar, para la población del condado de Kent, dado que \(AV_{[1990,2000]} = 7370.5\text{,}\) sabemos que en el intervalo \([1990,2000]\) la población está aumentando a una tasa promedio de \(7370.5\) personas por año.

Hacemos las siguientes definiciones formales para aclarar qué significa decir que una función está creciendo o disminuyendo.

Definition 1.3.7.

Sea \(f\) una función definida en un intervalo \((a,b)\) (es decir, en el conjunto de todos los \(x\) para los cuales \(a \lt x \lt b\)). Decimos que \(f\) está creciendo en \((a,b)\) siempre que la función esté siempre en aumento al movernos de izquierda a derecha. Es decir, para cualquier \(x\) y \(y\) en \((a,b)\text{,}\) si \(x \lt y\text{,}\) entonces \(f(x) \lt f(y)\text{.}\)

De manera similar, decimos que \(f\) está disminuyendo en \((a,b)\) siempre que la función esté siempre en descenso al movernos de izquierda a derecha. Es decir, para cualquier \(x\) y \(y\) en \((a,b)\text{,}\) si \(x \lt y\text{,}\) entonces \(f(x) \gt f(y)\text{.}\)

Si calculamos la tasa de cambio promedio de una función en un intervalo, podemos decidir si la función está creciendo o disminuyendo en promedio en el intervalo, pero se necesita más trabajo

El cálculo ofrece una forma de justificar que una función siempre está creciendo o siempre está disminuyendo en un intervalo.

para decidir si la función está creciendo o disminuyendo siempre en el intervalo.

Activity 1.3.3.

Consideremos dos funciones diferentes y veamos cómo los distintos cálculos de su tasa de cambio promedio nos informan sobre su comportamiento respectivo. Los gráficos de \(q\) y \(h\) se muestran en Figures 1.3.8 y 1.3.9.

Considera la función \(q(x) = 4-(x-2)^2\text{.}\) Calcula \(AV_{[0,1]}\text{,}\) \(AV_{[1,2]}\text{,}\) \(AV_{[2,3]}\text{,}\) y \(AV_{[3,4]}\text{.}\) ¿Qué te dicen tus dos últimos cálculos sobre el comportamiento de la función \(q\) en \([2,4]\text{?}\)
Considera la función \(h(t) = 3 - 2(0.5)^t\text{.}\) Calcula \(AV_{[-1,1]}\text{,}\) \(AV_{[1,3]}\text{,}\) y \(AV_{[3,5]}\text{.}\) ¿Qué te dicen tus cálculos sobre el comportamiento de la función \(h\) en \([-1,5]\text{?}\)
En los gráficos de Figures 1.3.8 y 1.3.9, traza los segmentos de línea cuyas pendientes respectivas son las tasas de cambio promedio que calculaste en (a) y (b).

Figure 1.3.8. Plot of \(q\) from part (a).

Figure 1.3.9. Plot of \(h\) from part (b).
Verdadero o falso: Dado que \(AV_{[0,3]} = 1\text{,}\) la función \(q\) está aumentando en el intervalo \((0,3)\text{.}\) Justifica tu decisión.
Da un ejemplo de una función que tenga la misma tasa de cambio promedio sin importar el intervalo que elijas. Puedes proporcionar tu ejemplo a través de una tabla, un gráfico, o una fórmula; independientemente de tu elección, escribe una frase para explicar.

Es útil poder conectar información sobre la tasa de cambio promedio de una función y su gráfico. Por ejemplo, si hemos determinado que \(AV_{[-3,2]} = 1.75\) para alguna función \(f\text{,}\) esto nos dice que, en promedio, la función sube entre los puntos \(x = -3\) y \(x = 2\) y lo hace a una tasa promedio de \(1.75\) unidades verticales por cada unidad horizontal. Además, podemos incluso determinar que la diferencia entre \(f(2)\) y \(f(-3)\) es

\begin{equation*} f(2)-f(-3) = 1.75 \cdot 5 = 8.75 \end{equation*}

ya que \(\frac{f(2)-f(-3)}{2-(-3)} = 1.75\text{.}\)

Activity 1.3.4.

Dibuja al menos dos gráficos diferentes que satisfagan los criterios para la función en cada parte. Haz tus gráficos lo más significativamente diferentes posible. Si es imposible que un gráfico satisfaga los criterios, explica por qué.

\(f\) es una función definida en \([-1,7]\) tal que \(f(1) = 4\) y \(AV_{[1,3]} = -2\text{.}\)
\(g\) es una función definida en \([-1,7]\) tal que \(g(4) = 3\text{,}\) \(AV_{[0,4]} = 0.5\) y \(g\) no siempre está creciendo en \((0,4)\text{.}\)
\(h\) es una función definida en \([-1,7]\) tal que \(h(2) = 5\text{,}\) \(h(4) = 3\) y \(AV_{[2,4]} = -2\text{.}\)

Subsection 1.3.3 Resumen

Para una función \(f\) definida en un intervalo \([a,b]\text{,}\) la tasa de cambio promedio de \(f\) en \([a,b]\) es la cantidad

\begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
El valor de \(AV_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\) nos dice cuánto sube o baja la función, en promedio, por cada unidad adicional que nos movemos a la derecha en el gráfico. Por ejemplo, si \(AV_{[3,7]} = 0.75\text{,}\) esto significa que por cada aumento adicional de \(1\) unidad en el valor de \(x\) en el intervalo \([3,7]\text{,}\) la función aumenta, en promedio, en \(0.75\) unidades. En contextos aplicados, las unidades de \(AV_{[a,b]}\) son “unidades de salida por unidad de entrada”.
El valor de \(AV_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\) es también la pendiente de la línea que pasa por los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) en el gráfico de \(f\text{,}\) como se muestra en la Figura 1.3.3.

Exercises 1.3.4 Exercises

1.

Una lata de refresco fría se saca de un refrigerador. Su temperatura \(F\) en grados Fahrenheit se mide a intervalos de \(5\) minutos, como se registra en la siguiente tabla.

Table 1.3.10. Datos de la temperatura del refresco en función del tiempo.

\(t\) (minutos)	\(0\)	\(5\)	\(10\)	\(15\)	\(20\)	\(25\)	\(30\)	\(35\)
\(F\) (temp. Fahrenheit)	\(37.00\)	\(44.74\)	\(50.77\)	\(55.47\)	\(59.12\)	\(61.97\)	\(64.19\)	\(65.92\)

Determina \(AV_{[0,5]}\text{,}\) \(AV_{[5,10]}\) y \(AV_{[10,15]}\text{,}\) incluyendo las unidades apropiadas. Elige una de estas cantidades y escribe una oración cuidadosa para explicar su significado. Tu oración podría ser algo como “En el intervalo \(\ldots\text{,}\) la temperatura del refresco es \(\ldots\) en promedio por \(\ldots\) para cada aumento de \(1\) unidad en \(\ldots\)”.
¿En qué intervalo hay más cambio total en la temperatura del refresco: \([10,20]\) o \([25,35]\text{?}\)
¿Qué puedes observar sobre cuándo parece que la temperatura del refresco está cambiando más rápidamente?
Estima la temperatura del refresco cuando \(t = 37\) minutos. Escribe al menos una oración para explicar tu razonamiento.

2.

La posición de un coche que conduce por una carretera recta en el tiempo \(t\) en minutos está dada por la función \(y = s(t)\) que se muestra en Figure 1.3.11. La función de posición del coche tiene unidades medidas en miles de pies. Por ejemplo, el punto \((2,4)\) en el gráfico indica que después de 2 minutos, el coche ha recorrido 4000 pies.

Figure 1.3.11. El gráfico de \(y = s(t)\text{,}\) la posición del coche (medida en miles de pies desde su ubicación inicial) en el tiempo \(t\) en minutos.

En lenguaje cotidiano, describe el comportamiento del coche durante el intervalo de tiempo proporcionado. En particular, discute cuidadosamente lo que está sucediendo en cada uno de los intervalos de tiempo \([0,1]\text{,}\) \([1,2]\text{,}\) \([2,3]\text{,}\) \([3,4]\) y \([4,5]\text{,}\) además de proporcionar un comentario general sobre lo que el coche está haciendo en el intervalo \([0,12]\text{.}\)
Calcula la tasa promedio de cambio de \(s\) en los intervalos \([3,4]\text{,}\) \([4,6]\) y \([5,8]\text{.}\) Etiqueta tus resultados usando la notación “\(AV_{[a,b]}\)” apropiadamente, e incluye unidades en cada cantidad.
En el gráfico de \(s\text{,}\) dibuja las tres líneas cuya pendiente corresponde a los valores de \(AV_{[3,4]}\text{,}\) \(AV_{[4,6]}\) y \(AV_{[5,8]}\) que calculaste en (b).
¿Hay un intervalo de tiempo en el que la velocidad promedio del coche sea de \(5000\) pies por minuto? ¿Por qué sí o por qué no?
¿Hay alguna vez un intervalo de tiempo en el que el coche esté yendo en reversa? ¿Por qué sí o por qué no?

3.

Considera un tanque cónico invertido (punta hacia abajo) cuyo tope tiene un radio de \(3\) pies y que tiene \(2\) pies de profundidad. El tanque está inicialmente vacío y luego se llena a una tasa constante de \(0.75\) pies cúbicos por minuto. Sea \(V=f(t)\) el volumen de agua (en pies cúbicos) en el tiempo \(t\) en minutos, y sea \(h= g(t)\) la profundidad del agua (en pies) en el tiempo \(t\text{.}\) Resulta que la fórmula para la función \(g\) es \(g(t) = \left( \frac{t}{\pi} \right)^{1/3}\text{.}\)

En lenguaje cotidiano, describe cómo esperas que se comporte la función de altura \(h = g(t)\) a medida que aumenta el tiempo.
Para la función de altura \(h = g(t) = \left( \frac{t}{\pi} \right)^{1/3}\text{,}\) calcula \(AV_{[0,2]}\text{,}\) \(AV_{[2,4]}\) y \(AV_{[4,6]}\text{.}\) Incluye unidades en tus resultados.
Nuevamente trabajando con la función de altura, ¿puedes determinar un intervalo \([a,b]\) en el que \(AV_{[a,b]} = 2\) pies por minuto? Si es así, indica el intervalo; si no, explica por qué no hay tal intervalo.
Ahora considera la función de volumen, \(V = f(t)\text{.}\) Aunque no tenemos una fórmula para \(f\text{,}\) ¿es posible determinar la tasa promedio de cambio de la función de volumen en los intervalos \([0,2]\text{,}\) \([2,4]\) y \([4,6]\text{?}\) ¿Por qué sí o por qué no?

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