¿Por qué se puede pensar que cada función exponencial de la forma \(f(t) = b^t\) (donde \(b \gt 0\) y \(b \ne 1\)) es una escala horizontal de una única función exponencial especial?
¿Qué es la base natural \(e\) y qué hace que este número sea especial?
Hemos observado que el comportamiento de las funciones de la forma \(f(t) = b^t\) es muy consistente, donde las únicas diferencias importantes dependen de si \(b \lt 1\) o \(b \gt 1\text{.}\) De hecho, si estipulamos que \(b \gt 1\text{,}\) los gráficos de funciones con diferentes bases \(b\) se ven casi idénticos, como se ve en las gráficas de \(p\text{,}\)\(q\text{,}\)\(r\) y \(s\) en Figura 3.3.1.
Figure3.3.1.Gráficas de cuatro funciones exponenciales diferentes de la forma \(b^t\) con \(b \gt 1\text{.}\)
Dado que el punto \((0,1)\) se encuentra en el gráfico de cada una de las cuatro funciones en Figura 3.3.1, las funciones no pueden ser escalas verticales entre sí. Sin embargo, es posible que las funciones sean escalas horizontales entre sí. Esto nos lleva a una pregunta natural: ¿será posible encontrar una única función exponencial con una base especial, digamos \(e\text{,}\) para la cual cada otra función exponencial \(f(t) = b^t\) pueda expresarse como una escala horizontal de \(E(t) = e^t\text{?}\)
Preview Activity3.3.1.
Abre una nueva hoja de trabajo en Desmos y define las siguientes funciones: \(f(t) = 2^t\text{,}\)\(g(t) = 3^t\text{,}\)\(h(t) = (\frac{1}{3})^t\) y \(p(t) = f(kt)\text{.}\) Después de definir \(p\text{,}\) acepta el deslizador para \(k\) y establece el rango del deslizador en \(-2 \le k \le 2\text{.}\)
Experimentando con el valor de \(k\text{,}\) encuentra un valor de \(k\) de modo que el gráfico de \(p(t) = f(kt) = 2^{kt}\) parezca alinearse con el gráfico de \(g(t) = 3^t\text{.}\) ¿Cuál es el valor de \(k\text{?}\)
De manera similar, experimenta para encontrar un valor de \(k\) de modo que el gráfico de \(p(t) = f(kt) = 2^{kt}\) parezca alinearse con el gráfico de \(h(t) = (\frac{1}{3})^t\text{.}\) ¿Cuál es el valor de \(k\text{?}\)
Para el valor de \(k\) que determinaste en (a), calcula \(2^k\text{.}\) ¿Qué observas?
Para el valor de \(k\) que determinaste en (b), calcula \(2^k\text{.}\) ¿Qué observas?
Dada cualquier función exponencial de la forma \(b^t\text{,}\) ¿crees que es posible encontrar un valor de \(k\) para que \(p(t) = f(kt) = 2^{kt}\) sea la misma función que \(b^t\text{?}\) ¿Por qué o por qué no?
Subsection3.3.1La base natural \(e\)
En Preview Activity 3.3.1, encontramos que parece posible encontrar un valor de \(k\) de modo que, dado cualquier base \(b\text{,}\) podamos escribir la función \(b^t\) como la escala horizontal de \(2^t\) dada por
También es evidente que no hay nada particularmente especial sobre “\(2\)”: podríamos escribir de manera similar cualquier función \(b^t\) como una escala horizontal de \(3^t\) o \(4^t\text{,}\) aunque con un factor de escala diferente \(k\) para cada una. Por lo tanto, también podríamos preguntarnos: ¿hay una única base mejor posible para usar?
A través del tema central de la tasa de cambio de una función, el cálculo nos ayuda a decidir cuál base es mejor usar para representar todas las funciones exponenciales. Mientras estudiamos extensamente la tasa de cambio promedio en este curso, en cálculo hay más énfasis en la tasa de cambio instantánea. En ese contexto, surge una pregunta natural: ¿existe una función no nula que crezca de tal manera que su altura sea exactamente cuán rápido está aumentando su altura?
Increíblemente, resulta que la respuesta a esta pregunta es “sí,” y la función con esta propiedad es la función exponencial con la base natural, denotada \(e^t\text{.}\) El número \(e\) (nombrado en homenaje al gran matemático suizo Leonard Euler (1707-1783)) es complicado de definir. Al igual que \(\pi\text{,}\)\(e\) es un número irracional que no puede ser representado exactamente por una razón de enteros y cuya expansión decimal nunca se repite. Se necesita matemáticas avanzadas para hacer la siguiente definición formal de \(e\text{.}\)
Definition3.3.2.La base natural, \(e\).
El número \(e\) es la suma infinita 1
Las sumas infinitas se estudian usualmente en el segundo semestre de cálculo.
Por ejemplo, \(1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24} + \frac{1}{120} = \frac{163}{60} \approx 2.7167\) es una aproximación de \(e\) generada al tomar los primeros \(6\) términos en la suma infinita que lo define. Cada dispositivo computacional conoce el número \(e\) y normalmente trabajaremos con este número usando la tecnología apropiadamente.
Inicialmente, es importante notar que \(2 \lt e \lt 3\text{,}\) y por lo tanto esperamos que la función \(e^t\) se encuentre entre \(2^t\) y \(3^t\text{.}\)
\(t\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(2^t\)
\(0.25\)
\(0.5\)
\(1\)
\(2\)
\(4\)
\(t\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(e^t\)
\(0.135\)
\(0.368\)
\(1\)
\(2.718\)
\(7.389\)
\(t\)
\(-2\)
\(-1\)
\(0\)
\(1\)
\(2\)
\(3^t\)
\(0.111\)
\(0.333\)
\(1\)
\(3\)
\(9\)
Table3.3.3.Salidas seleccionadas de \(2^t\text{,}\)\(e^t\text{,}\) y \(3^t\) reportadas a \(3\) decimales.
Figure3.3.4.Gráfico de \(e^t\) junto con \(2^t\) y \(3^t\text{.}\)
Si comparamos los gráficos y algunas salidas seleccionadas de cada función, como en Tabla 3.3.3 y Figura 3.3.4, vemos que la función \(e^t\) satisface la desigualdad
para todos los valores positivos de \(t\text{.}\) Cuando \(t\) es negativo, podemos ver los valores de cada función como recíprocos de las potencias de \(2\text{,}\)\(e\text{,}\) y \(3\text{.}\) Por ejemplo, dado que \(2^2 \lt e^2 \lt 3^2\text{,}\) se sigue que \(\frac{1}{3^2} \lt \frac{1}{e^2} \lt \frac{1}{2^2}\text{,}\) o
Al igual que \(2^t\) y \(3^t\text{,}\) la función \(e^t\) pasa por \((0,1)\text{,}\) siempre está aumentando y siempre es cóncava hacia arriba, y su rango es el conjunto de todos los números reales positivos.
Activity3.3.2.
Recuerda de Sección 1.3 que la tasa de cambio promedio de una función \(f\) en un intervalo \([a,b]\) es
En Sección 1.6, también vimos que si en lugar de eso pensamos en la tasa de cambio promedio de \(f\) en el intervalo \([a,a+h]\text{,}\) la expresión cambia a
¿Qué significa \(A(0.5)\) en términos de la función \(f\) y su gráfico?
Calcula el valor de \(A(h)\) para al menos \(6\) valores pequeños diferentes de \(h\text{,}\) tanto positivos como negativos. Por ejemplo, un valor a probar podría ser \(h = 0.0001\text{.}\) Registra una tabla de tus resultados.
¿Qué notas sobre los valores que encontraste en (b)? ¿Cómo se comparan con un número importante?
Explica por qué la siguiente oración tiene sentido: “La función \(e^t\) está aumentando a una tasa promedio que es aproximadamente la misma que su valor en intervalos pequeños cerca de \(t = 1\text{.}\)”
Ajusta tu definición de \(A\) en Desmos cambiando \(1\) a \(2\) de modo que
¿Cómo se compara el valor de \(A(h)\) con \(f(2)\) para valores pequeños de \(h\text{?}\)
Subsection3.3.2Por qué cualquier función exponencial se puede escribir en términos de \(e\)
En Actividad de Vista Previa 3.3.1, vimos evidencia gráfica de que cualquier función exponencial \(f(t) = b^t\) se puede escribir como una escala horizontal de la función \(g(t) = 2^t\text{,}\) además observamos que no había nada particularmente especial sobre \(2^t\text{.}\) Debido a la importancia de \(e^t\) en cálculo, elegiremos en su lugar usar la función exponencial natural, \(E(t) = e^t\) como la función que escalamos para generar cualquier otra función exponencial \(f(t) = b^t\text{.}\) Afirmamos que para cualquier elección de \(b \gt 0\) (con \(b \ne 1\)), existe un factor de escala horizontal \(k\) tal que \(b^t = f(t) = E(kt) = e^{kt}\text{.}\)
Por las reglas de los exponentes, podemos reescribir esta última ecuación de manera equivalente como
Ya que esta ecuación debe mantenerse para cada valor de \(t\text{,}\) se sigue que \(b = e^k\text{.}\) Por lo tanto, nuestra afirmación de que podemos escalar \(E(t)\) para obtener \(f(t)\) requiere que mostremos que independientemente de la elección del número positivo \(b\text{,}\) existe un único valor correspondiente de \(k\) tal que \(b = e^k\text{.}\)
Dado \(b \gt 0\text{,}\) siempre podemos encontrar un valor correspondiente de \(k\) tal que \(e^k = b\) porque la función \(f(t) = e^t\) pasa la Prueba de la Línea Horizontal, como se ve en Figura 3.3.5.
Figure3.3.5.Un gráfico de \(f(t) = e^t\) junto con varias elecciones de constantes positivas \(b\) vistas en el eje vertical.
En Figura 3.3.5, podemos pensar en \(b\) como un punto en el eje vertical positivo. Desde allí, dibujamos una línea horizontal hasta el gráfico de \(f(t) = e^t\text{,}\) y luego desde el punto (único) de intersección bajamos una línea vertical hasta el eje \(x\text{.}\) En ese punto correspondiente en el eje \(x\) hemos encontrado el valor de entrada \(k\) que corresponde a \(b\text{.}\) Vemos que siempre hay exactamente un valor de \(k\) que corresponde a cada \(b\) elegido porque \(f(t) = e^t\) siempre está aumentando, y cualquier función que siempre aumenta pasa la Prueba de la Línea Horizontal.
Se sigue que la función \(f(t) = e^t\) tiene una función inversa, y por lo tanto debe haber alguna otra función \(g\) tal que escribir \(y = f(t)\) es lo mismo que escribir \(t = g(y)\text{.}\) Esta importante función \(g\) se desarrollará en Sección 3.4 y nos permitirá encontrar el valor de \(k\) exactamente para un \(b\) dado. Por ahora, nos contentamos con trabajar con estas observaciones gráficas y así encontrar estimaciones para el valor de \(k\text{.}\)
Activity3.3.3.
Graficando \(f(t) = e^t\) y líneas horizontales apropiadas, estima la solución para cada una de las siguientes ecuaciones. Nota que en algunas partes, puede que necesites hacer algún trabajo algebraico además de usar el gráfico.
\(\displaystyle e^t = 2\)
\(\displaystyle e^{3t} = 5\)
\(\displaystyle 2e^t - 4 = 7\)
\(\displaystyle 3e^{0.25t} + 2 = 6\)
\(\displaystyle 4 - 2e^{-0.7t} = 3\)
\(\displaystyle 2e^{1.2t} = 1.5e^{1.6t}\)
Subsection3.3.3Resumen
Cualquier función exponencial \(f(t) = b^t\) se puede ver como una escala horizontal de \(E(t) = e^t\) porque existe una constante única \(k\) tal que \(E(kt) = e^{kt} = b^t = f(t)\) es verdadera para cada valor de \(t\text{.}\) Esto se cumple ya que la función exponencial \(e^t\) siempre está aumentando, por lo que dado un resultado \(b\) existe un único valor de entrada \(k\) tal que \(e^k = b\text{,}\) de lo cual se sigue que \(e^{kt} = b^t\text{.}\)
La base natural \(e\) es el número especial que define una función exponencial creciente cuya tasa de cambio en cualquier punto es la misma que su altura en ese punto, un hecho que se establece usando cálculo. El número \(e\) resulta ser dado exactamente por una suma infinita y aproximadamente por \(e \approx 2.7182818\text{.}\)
Exercises3.3.4Exercises
1.
Cuando una inversión única de principal, $\(P\text{,}\) se invierte en una cuenta que devuelve intereses a una tasa anual de \(r\) (un decimal que corresponde a la tasa porcentual, como \(r = 0.05\) correspondiente a \(5\)%) que se capitaliza \(n\) veces al año, la cantidad de dinero en la cuenta después de \(t\) años se da por \(A(t) = P(1 + \frac{r}{n})^{nt}\text{.}\)
Supón que invertimos $\(100\) en una cuenta que gana \(8\)% de interés anual. Investigamos los efectos de diferentes tasas de capitalización.
Calcula \(A(1)\) si el interés se capitaliza trimestralmente (\(n = 4\)).
Calcula \(A(1)\) si el interés se capitaliza mensualmente.
Calcula \(A(1)\) si el interés se capitaliza semanalmente.
Calcula \(A(1)\) si el interés se capitaliza diariamente.
Si dejamos que el número de veces que se capitaliza el interés aumente sin límite, decimos que el interés se “capitaliza continuamente”. Cuando el interés se capitaliza continuamente, resulta que la cantidad de dinero en una cuenta con inversión inicial $\(P\) después de \(t\) años a una tasa de interés anual de \(r\) es \(A(t) = Pe^{rt}\text{,}\) donde \(e\) es la base natural. Calcula \(A(1)\) en el mismo contexto que las preguntas anteriores pero donde el interés se capitaliza continuamente.
¿Cuánta diferencia hace el interés capitalizado continuamente sobre el interés capitalizado trimestralmente en un año? ¿Cómo cambia tu respuesta en un período de \(25\) años?
2.
En Desmos, define la función \(g(t) = e^{kt}\) y acepta el deslizador para \(k\text{.}\) Establece el rango del deslizador a \(-2 \le k \le 2\text{,}\) y supón que \(k \ne 0\text{.}\) Experimenta con una amplia gama de valores de \(k\) para ver los efectos de cambiar \(k\text{.}\)
¿Para qué valores de \(k\) es \(g\) siempre creciente? ¿Para qué valores de \(k\) es \(g\) siempre decreciente?
¿Para qué valor de \(k\) es mayor la tasa de cambio promedio de \(g\) en \([0,1]\text{:}\) cuando \(k = -0.1\) o cuando \(k = -0.05\text{?}\)
¿Cuál es el comportamiento a largo plazo de \(g\) cuando \(k \lt 0\text{?}\) ¿Por qué ocurre esto?
Experimenta con el deslizador para encontrar un valor de \(k\) para el cual \(g(2) = \frac{1}{2}\text{.}\) Prueba tu estimación calculando \(e^{2k}\text{.}\) ¿Qué tan precisa es tu estimación?
3.
Una lata de refresco se saca de un refrigerador en el momento \(t = 0\) (en minutos) y su temperatura, \(F(t)\text{,}\) en grados Fahrenheit, se calcula a intervalos regulares. Basado en los datos, se formula un modelo para la temperatura del objeto, dado por
¿Cuál es el comportamiento a largo plazo de la función \(g(t) = e^{-0.05t}\text{?}\) ¿Por qué?
¿Cuál es el comportamiento a largo plazo de la función \(F(t) = 74.4 - 38.8e^{-0.05t}\text{?}\) ¿Cuál es el significado de este valor en el contexto físico del problema?
¿Cuál es la temperatura del refrigerador? ¿Por qué?
Calcula la tasa de cambio promedio de \(F\) en los intervalos \([10,20]\text{,}\)\([20,30]\text{,}\) y \([30,40]\text{.}\) Escribe una oración cuidadosa, con unidades, para explicar el significado de cada una, y escribe una oración adicional para describir cualquier tendencia general en cómo está cambiando la tasa de cambio promedio de \(F\text{.}\)
