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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 4.5 Otras Funciones e Identidades Trigonométricas

Las funciones seno y coseno, originalmente definidas en el contexto de un punto que recorre el círculo unitario, también son centrales en la trigonometría de triángulos rectángulos. Nos permiten encontrar información faltante en triángulos rectángulos de una manera sencilla cuando conocemos uno de los ángulos no rectos y uno de los tres lados del triángulo, o dos de los lados donde uno es la hipotenusa. Además, definimos la función tangente en términos de las funciones seno y coseno, y la función tangente ofrece opciones adicionales para encontrar información faltante en triángulos rectángulos. También hemos visto cómo las inversas de las funciones seno, coseno y tangente restringidas nos permiten encontrar ángulos faltantes en una amplia variedad de situaciones que involucran triángulos rectángulos.
Uno de los aspectos poderosos de la trigonometría es que la materia nos ofrece la oportunidad de ver la misma idea desde muchas perspectivas diferentes. Como un ejemplo, hemos observado que las funciones \(f(t) = \cos(t)\) y \(g(t) = \sin(t+\frac{\pi}{2})\) son en realidad la misma función; como otro, para valores de \(t\) en el dominio \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\text{,}\) sabemos que escribir \(y = \tan(t)\) es lo mismo que escribir \(t = \arctan(y)\text{.}\) La perspectiva que elijamos tomar a menudo depende del contexto y la información dada.
Aunque casi todas las preguntas que involucran trigonometría pueden ser respondidas usando las funciones seno, coseno y tangente, a veces es conveniente usar tres funciones relacionadas que están conectadas a las otras tres posibles disposiciones de razones de lados en triángulos rectángulos.

Definition 4.5.1. Las funciones secante, cosecante y cotangente.

  • Para cualquier número real \(t\) para el cual \(\cos(t) \ne 0\text{,}\) definimos la secante de \(t\text{,}\) denotada \(\sec(t)\text{,}\) por la regla
    \begin{equation*} \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)}\text{.} \end{equation*}
  • Para cualquier número real \(t\) para el cual \(\sin(t) \ne 0\text{,}\) definimos la cosecante de \(t\text{,}\) denotada \(\csc(t)\text{,}\) por la regla
    \begin{equation*} \csc(t) = \frac{1}{\sin(t)}\text{.} \end{equation*}
  • Para cualquier número real \(t\) para el cual \(\sin(t) \ne 0\text{,}\) definimos la cotangente de \(t\text{,}\) denotada \(\cot(t)\text{,}\) por la regla
    \begin{equation*} \cot(t) = \frac{\cos(t)}{\sin(t)}\text{.} \end{equation*}
Observa particularmente que, al igual que la función tangente, la secante, cosecante y cotangente también están definidas completamente en términos de las funciones seno y coseno. En el contexto de un triángulo rectángulo con un ángulo \(\theta\text{,}\) sabemos cómo pensar en \(\sin(\theta)\text{,}\) \(\cos(\theta)\) y \(\tan(\theta)\) como razones de los lados del triángulo. Ahora podemos hacer lo mismo con las otras funciones trigonométricas:
\begin{align*} \sec(\theta) &= \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{1}{\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}} = \frac{\text{hyp}}{\text{adj}}\\ \csc(\theta) &= \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{1}{\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}} = \frac{\text{hyp}}{\text{opp}}\\ \cot(\theta) &= \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} = \frac{\frac{\text{adj}}{\text{hyp}}}{\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}} = \frac{\text{adj}}{\text{opp}} \end{align*}
Figure 4.5.2. Un triángulo rectángulo con ángulo \(\theta\text{.}\)
Con estas tres funciones trigonométricas adicionales, ahora tenemos expresiones que abordan todas las seis combinaciones posibles de dos lados de un triángulo rectángulo en una razón.

Preview Activity 4.5.1.

Considera un triángulo rectángulo con hipotenusa de longitud \(61\) y un cateto de longitud \(11\text{.}\) Sea \(\alpha\) el ángulo opuesto al lado de longitud \(11\text{.}\) Encuentra la longitud exacta del otro cateto y luego determina el valor de cada una de las seis funciones trigonométricas evaluadas en \(\alpha\text{.}\) Además, ¿cuáles son las medidas exactas y aproximadas de los dos ángulos no rectos en el triángulo?

Subsection 4.5.1 Relaciones en triángulos rectángulos

Porque las funciones seno y coseno se usan para definir cada una de las otras cuatro funciones trigonométricas, se sigue que podemos traducir la información conocida sobre las otras funciones de vuelta a información sobre las funciones seno y coseno. Por ejemplo, si sabemos que en cierto triángulo \(\csc(\alpha) = \frac{5}{3}\text{,}\) se sigue que \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\text{.}\) Desde ahí podemos razonar de la manera habitual para determinar la información faltante en el triángulo dado.
También es a menudo posible ver la información dada en el contexto del círculo unitario. Con la información dada anteriormente de que \(\csc(\alpha) = \frac{5}{3}\text{,}\) es natural ver \(\alpha\) como el ángulo en un triángulo rectángulo que se encuentra opuesto a una pierna de longitud \(3\) con la hipotenusa siendo \(5\text{,}\) ya que \(\csc(\alpha) = \frac{\text{hip}}{\text{opp}}\text{.}\) El Teorema de Pitágoras entonces nos dice que la pierna adyacente a \(\alpha\) tiene una longitud de \(4\text{,}\) como se ve en \(\triangle OPQ\) en Figure 4.5.3.
Figure 4.5.3. Un triángulo rectángulo \(3\)-\(4\)-\(5\text{.}\)
Pero también podríamos ver \(\sin(\alpha) = \frac{3}{5}\) como \(\sin(\alpha) = \frac{\frac{3}{5}}{1}\text{,}\) y así pensar que el triángulo rectángulo tiene una hipotenusa de \(1\) y una pierna vertical de \(\frac{3}{5}\text{.}\) Este triángulo es similar al triángulo rectángulo \(3\)-\(4\)-\(5\) considerado originalmente, pero puede verse como si estuviera dentro del círculo unitario. La perspectiva del círculo unitario es particularmente valiosa cuando surgen razones como \(\frac{\sqrt{3}}{2}\text{,}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) y \(\frac{1}{2}\) en triángulos rectángulos.

Activity 4.5.2.

Supón que \(\beta\) es un ángulo en posición estándar con su lado terminal en el cuadrante II y sabes que \(\sec(\beta) = -2\text{.}\) Sin usar un dispositivo de cálculo de ninguna manera, determina los valores exactos de las otras cinco funciones trigonométricas evaluadas en \(\beta\text{.}\)

Subsection 4.5.2 Propiedades de las funciones secante, cosecante y cotangente

Al igual que la función tangente, las funciones secante, cosecante y cotangente se definen en términos de las funciones seno y coseno, por lo que podemos determinar los valores exactos de estas funciones en cada uno de los puntos especiales en el círculo unitario. Además, podemos usar nuestra comprensión del círculo unitario y las propiedades de las funciones seno y coseno para determinar las propiedades clave de estas otras funciones trigonométricas. Comenzamos investigando la función secante.
Usando el hecho de que \(\sec(t) = \frac{1}{\cos(t)}\text{,}\) notamos que en cualquier lugar donde \(\cos(t) = 0\text{,}\) el valor de \(\sec(t)\) no está definido. Denotamos tales instancias en la siguiente tabla con “u”. En todos los demás puntos, el valor de la función secante es simplemente el recíproco del valor de la función coseno. Dado que \(|\cos(t)| \le 1\) para todo \(t\text{,}\) se sigue que \(|\sec(t)| \ge 1\) para todo \(t\) (para los cuales el valor de la secante está definido).
Table 4.5.4. Valores de las funciones coseno y secante en puntos especiales del círculo unitario (Cuadrantes I y II).
\(t\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
\(\cos(t)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\)
\(\sec(t)\) \(1\) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) \(\sqrt{2}\) \(2\) u \(-2\) \(-\sqrt{2}\) \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\) \(-1\)
Table 4.5.5. Valores de las funciones coseno y secante en puntos especiales del círculo unitario (Cuadrantes III y IV).
\(t\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(2\pi\)
\(\cos(t)\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(0\)
\(\sec(t)\) \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\) \(-\sqrt{2}\) \(-2\) u \(2\) \(\sqrt{2}\) \(\frac{2}{\sqrt{3}}\) \(1\)
Tabla 4.5.4 y Tabla 4.5.5 nos ayudan a identificar tendencias en la función secante. El signo de \(\sec(t)\) coincide con el signo de \(\cos(t)\) y, por lo tanto, es positivo en el Cuadrante I, negativo en el Cuadrante II, negativo en el Cuadrante III y positivo en el Cuadrante IV.
Además, observamos que a medida que los valores de \(t\) en el primer cuadrante se acercan a \(\frac{\pi}{2}\text{,}\) \(\cos(t)\) se acerca a \(0\) (mientras siempre es positivo). Dado que el numerador de la función secante siempre es \(1\text{,}\) tener su denominador acercándose a \(0\) (mientras el denominador permanece positivo) significa que \(\sec(t)\) aumenta sin límite a medida que \(t\) se acerca a \(\frac{\pi}{2}\) desde el lado izquierdo. Una vez que \(t\) es ligeramente mayor que \(\frac{\pi}{2}\) en el Cuadrante II, el valor de \(\cos(t)\) es negativo (y cercano a cero). Esto hace que el valor de \(\sec(t)\) disminuya sin límite (negativo y alejándose más de \(0\)) para \(t\) acercándose a \(\frac{\pi}{2}\) desde el lado derecho. Por lo tanto, vemos que \(p(t) = \sec(t)\) tiene una asíntota vertical en \(t = \frac{\pi}{2}\text{;}\) la periodicidad y el comportamiento del signo de \(\cos(t)\) significan que este comportamiento asintótico de la función secante se repetirá.
Graficando los datos en la tabla junto con las asíntotas esperadas y conectando los puntos intuitivamente, vemos el gráfico de la función secante en Figura 4.5.6.
Figure 4.5.6. Un gráfico de la función secante con puntos especiales que provienen del círculo unitario, además de la función coseno (punteada, en azul claro).
Vemos tanto en la tabla como en el gráfico que la función secante tiene un período \(P = 2\pi\text{.}\) Resumimos nuestro trabajo reciente de la siguiente manera.

Propiedades de la función secante.

Para la función \(p(t) = \sec(t)\text{,}\)
  • su dominio es el conjunto de todos los números reales excepto \(t = \frac{\pi}{2} \pm k\pi\) donde \(k\) es cualquier número entero;
  • su rango es el conjunto de todos los números reales \(y\) tales que \(|y| \ge 1\text{;}\)
  • su período es \(P = 2\pi\text{.}\)

Activity 4.5.3.

En esta actividad, desarrollamos las propiedades estándar de la función cosecante, \(q(t) = \csc(t)\text{.}\)
Figure 4.5.7. Ejes para graficar \(q(t) = \csc(t)\text{.}\)
  1. Completa Tabla 4.5.8 y Tabla 4.5.9 para determinar los valores exactos de la función cosecante en los puntos especiales del círculo unitario. Ingresa “\(u\)” para cualquier valor en el que \(q(t) = \csc(t)\) no esté definido.
    Table 4.5.8. Valores de la función seno en puntos especiales del círculo unitario (Cuadrantes I y II).
    \(t\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
    \(\sin(t)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
    \(\csc(t)\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)
    Table 4.5.9. Valores de la función seno en puntos especiales del círculo unitario (Cuadrantes III y IV).
    \(t\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(2\pi\)
    \(\sin(t)\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\)
    \(\csc(t)\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\) \(\)
  2. ¿En qué cuadrantes es \(q(t) = \csc(t)\) positivo? ¿negativo?
  3. ¿En qué valores de \(t\) tiene \(q(t) = \csc(t)\) una asíntota vertical? ¿Por qué?
  4. ¿Cuál es el dominio de la función cosecante? ¿Cuál es su rango?
  5. Dibuja un gráfico preciso y etiquetado de \(q(t) = \csc(t)\) en los ejes proporcionados en Figura 4.5.7, incluyendo los puntos especiales que provienen del círculo unitario.
  6. ¿Cuál es el período de la función cosecante?

Activity 4.5.4.

En esta actividad, desarrollamos las propiedades estándar de la función cotangente, \(r(t) = \cot(t)\text{.}\)
  1. Completa Table 4.5.10 y Table 4.5.11 para determinar los valores exactos de la función cotangente en los puntos especiales del círculo unitario. Ingresa “u” para cualquier valor en el que \(r(t) = \cot(t)\) no esté definido.
    Table 4.5.10. Valores de las funciones seno, coseno y tangente en puntos especiales del círculo unitario.
    \(t\) \(0\) \(\frac{\pi}{6}\) \(\frac{\pi}{4}\) \(\frac{\pi}{3}\) \(\frac{\pi}{2}\) \(\frac{2\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{4}\) \(\frac{5\pi}{6}\) \(\pi\)
    \(\sin(t)\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\)
    \(\cos(t)\) \(1\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{1}{2}\) \(0\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\)
    \(\tan(t)\) \(0\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) u \(-\frac{3}{\sqrt{3}}\) \(-1\) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)
    \(\cot(t)\)
    Table 4.5.11. Valores de las funciones seno, coseno y tangente en puntos especiales del círculo unitario.
    \(t\) \(\frac{7\pi}{6}\) \(\frac{5\pi}{4}\) \(\frac{4\pi}{3}\) \(\frac{3\pi}{2}\) \(\frac{5\pi}{3}\) \(\frac{7\pi}{4}\) \(\frac{11\pi}{6}\) \(2\pi\)
    \(\sin(t)\) \(-\frac{1}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-1\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\)
    \(\cos(t)\) \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(-\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(-\frac{1}{2}\) \(0\) \(\frac{1}{2}\) \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) \(1\)
    \(\tan(t)\) \(\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(1\) \(\frac{3}{\sqrt{3}}\) u \(-\frac{3}{\sqrt{3}}\) \(-1\) \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\) \(0\)
    \(\cot(t)\)
  2. ¿En qué cuadrantes es \(r(t) = \cot(t)\) positivo? ¿negativo?
  3. ¿En qué valores de \(t\) tiene \(r(t) = \cot(t)\) una asíntota vertical? ¿Por qué?
  4. ¿Cuál es el dominio de la función cotangente? ¿Cuál es su rango?
  5. Dibuja un gráfico preciso y etiquetado de \(r(t) = \cot(t)\) en los ejes proporcionados en Figure 4.5.12, incluyendo los puntos especiales que provienen del círculo unitario.
    Figure 4.5.12. Ejes para graficar \(r(t) = \cot(t)\text{.}\)
  6. En intervalos donde la función está definida en cada punto del intervalo, ¿es \(r(t) = \cot(t)\) siempre creciente, siempre decreciente, o ninguna de las dos?
  7. ¿Cuál es el período de la función cotangente?
  8. ¿Cómo describirías la relación entre los gráficos de las funciones tangente y cotangente?

Subsection 4.5.3 Algunas identidades importantes

Una identidad es una ecuación que es verdadera para todos los valores posibles de \(x\) para los cuales las cantidades involucradas están definidas. Un ejemplo de una identidad no trigonométrica es
\begin{equation*} (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1\text{,} \end{equation*}
ya que esta ecuación es verdadera para cada valor de \(x\text{,}\) y los lados izquierdo y derecho de la ecuación son simplemente dos expresiones que se ven diferentes pero son completamente equivalentes.
Las identidades trigonométricas son simplemente identidades que involucran funciones trigonométricas. Aunque hay un gran número de tales identidades que uno puede estudiar, elegimos enfocarnos en aquellas que resultan ser más útiles en el estudio del cálculo. La identidad trigonométrica más importante es la identidad trigonométrica fundamental, que es una reformulación trigonométrica del Teorema de Pitágoras.

La identidad trigonométrica fundamental.

Para cualquier número real \(\theta\text{,}\)
\begin{equation} \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1\text{.}\tag{4.5.1} \end{equation}
Las identidades son importantes porque nos permiten ver la misma idea desde múltiples perspectivas. Por ejemplo, la identidad trigonométrica fundamental nos permite pensar en \(\cos^2(\theta) + \sin^2(\theta)\) como simplemente \(1\text{,}\) o alternativamente, ver \(\cos^2(\theta)\) como la misma cantidad que \(1 - \sin^2(\theta)\text{.}\)
Hay dos identidades pitagóricas relacionadas que involucran las funciones tangente, secante, cotangente y cosecante, que podemos derivar de la identidad trigonométrica fundamental dividiendo ambos lados por \(\cos^2(\theta)\) o \(\sin^2(\theta)\text{.}\) Si dividimos ambos lados de Equation (4.5.1) por \(\cos^2(\theta)\) (y asumimos que \(\cos(\theta) \ne 0\)), vemos que
\begin{equation*} 1 + \frac{\sin^2(\theta)}{\cos^2(\theta)} = \frac{1}{\cos^2(\theta)} \text{,} \end{equation*}
o equivalentemente,
\begin{equation*} 1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) \text{.} \end{equation*}
Un argumento similar dividiendo por \(\sin^2(\theta)\) (mientras asumimos \(\sin(\theta) \ne 0\)) muestra que
\begin{equation*} \cot^2(\theta) + 1 = \csc^2(\theta) \text{.} \end{equation*}
Estas identidades resultan útiles en cálculo cuando desarrollamos las fórmulas para las derivadas de las funciones tangente y cotangente.
En cálculo, también es beneficioso conocer un par de otras identidades estándar para sumas de ángulos o ángulos dobles. Simplemente enunciamos estas identidades sin justificación. Para más información sobre ellas, consulta la Sección 10.4 en College Trigonometry
 1 
stitz-zeager.com/szct07042013.pdf/
, de Stitz y Zeager
 2 
Más información sobre los textos gratuitos de Stitz y Zeager se puede encontrar en http://stitz-zeager.com/.
.
  • Para todos los números reales \(\alpha\) y \(\beta\text{,}\) \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)\text{.}\)
  • Para todos los números reales \(\alpha\) y \(\beta\text{,}\) \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)\text{.}\)
  • Para cualquier número real \(\theta\text{,}\) \(\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta)\text{.}\)
  • Para cualquier número real \(\theta\text{,}\) \(\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta)\text{.}\)

Activity 4.5.5.

En esta actividad, investigamos cómo una identidad de suma de dos ángulos para la función seno nos ayuda a obtener una perspectiva diferente sobre la tasa de cambio promedio de la función seno.
Recuerda que para cualquier función \(f\) en un intervalo \([a,a+h]\text{,}\) su tasa de cambio promedio es
\begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\text{.} \end{equation*}
  1. Sea \(f(x) = \sin(x)\text{.}\) Usa la definición de \(AV_{[a,a+h]}\) para escribir una expresión para la tasa de cambio promedio de la función seno en el intervalo \([a,a+h]\text{.}\)
  2. Aplica la identidad de suma de dos ángulos para la función seno, \(\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)\text{,}\) a la expresión \(\sin(a+h)\text{.}\)
  3. Explica por qué tu trabajo en (a) y (b) junto con algo de álgebra muestra que
    \begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \sin(a) \cdot \frac{\cos(h)-1}{h} - \cos(a) \cdot \frac{\sin(h)}{h}\text{.} \end{equation*}
  4. En cálculo, pasamos de la tasa de cambio promedio a la tasa de cambio instantánea dejando que \(h\) se acerque a \(0\) en la expresión para la tasa de cambio promedio. Usando un dispositivo computacional en modo radianes, investiga el comportamiento de
    \begin{equation*} \frac{\cos(h)-1}{h} \end{equation*}
    a medida que \(h\) se acerca a \(0\text{.}\) ¿Qué sucede? De manera similar, ¿cómo se comporta \(\frac{\sin(h)}{h}\) para valores pequeños de \(h\text{?}\) ¿Qué nos dice esto sobre \(AV_{[a,a+h]}\) para la función seno a medida que \(h\) se acerca a \(0\text{?}\)

Subsection 4.5.4 Resumen

  • Las funciones secante, cosecante y cotangente se definen respectivamente como los recíprocos de las funciones coseno, seno y tangente. Es decir,
    \begin{equation*} \sec(t) = \frac{1}{\cos(t)}, \csc(t) = \frac{1}{\sin(t)}, \text{ y } \cot(t) = \frac{1}{\tan(t)}\text{.} \end{equation*}
  • El gráfico de la función cotangente es similar al gráfico de la función tangente, excepto que está decreciendo en cada intervalo en el que está definida y tiene asíntotas verticales donde \(\tan(t) = 0\) y es cero donde \(\tan(t)\) tiene una asíntota vertical.
    Los gráficos de las funciones secante y cosecante son diferentes de los gráficos de las funciones coseno y seno en varios aspectos, incluyendo que su rango es el conjunto de todos los números reales \(y\) tales que \(|y| \ge 1\) y tienen asíntotas verticales donde las funciones coseno y seno, respectivamente, son cero.
  • Una identidad trigonométrica es una ecuación que involucra funciones trigonométricas que es verdadera para cada valor de la variable para la cual las funciones trigonométricas están definidas. Por ejemplo, \(\tan^2(t) + 1 = \sec^2(t)\) para cada número real \(t\) excepto \(t = \frac{\pi}{2} \pm k\pi\text{.}\) Las identidades nos ofrecen perspectivas alternativas sobre la misma función. Por ejemplo, la función \(f(t) = \sec^2(t) - \tan^2(t)\) es la misma (en todos los puntos donde \(f\) está definida) que la función cuyo valor es siempre \(1\text{.}\)

Exercises 4.5.5 Exercises

1.

Sea \(\beta\) un ángulo en el cuadrante II que satisface \(\cos(\beta) = -\frac{12}{13}\text{.}\) Determina los valores de las otras cinco funciones trigonométricas evaluadas en \(\beta\) exactamente y sin evaluar ninguna función trigonométrica en un dispositivo computacional.
¿Cómo cambian tus respuestas si \(\beta\) se encuentra en el cuadrante III?

2.

Para cada una de las siguientes transformaciones de funciones trigonométricas estándar, usa tu comprensión de las transformaciones para determinar el dominio, rango, asíntotas y período de la función, con una justificación cuidadosa. Luego, verifica tus resultados usando Desmos u otra utilidad de graficación.
  1. \(\displaystyle f(t) = 5\sec(t-\frac{\pi}{2}) + 3\)
  2. \(\displaystyle g(t) = -\frac{1}{3}\csc(2t) - 4\)
  3. \(\displaystyle h(t) = -7\tan(t+\frac{\pi}{4}) + 1\)
  4. \(\displaystyle j(t) = \frac{1}{2}\cot(4t) - 2\)

3.

En un triángulo rectángulo con hipotenusa 1 y cateto vertical \(x\text{,}\) con ángulo \(\theta\) opuesto a \(x\text{,}\) determina la expresión más simple que puedas para cada una de las siguientes cantidades en términos de \(x\text{.}\)
  1. \(\displaystyle \sin(\theta)\)
  2. \(\displaystyle \sec(\theta)\)
  3. \(\displaystyle \csc(\theta)\)
  4. \(\displaystyle \tan(\theta)\)
  5. \(\displaystyle \cos(\arcsin(x))\)
  6. \(\displaystyle \cot(\arcsin(x))\)
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