¿Es posible que una función periódica que no pasa la Prueba de la Línea Horizontal tenga una inversa?
Para las funciones coseno, seno y tangente restringidas, ¿cómo definimos las funciones arccoseno, arcseno y arctangente correspondientes?
¿Cuáles son las propiedades clave de las funciones arccoseno, arcseno y arctangente?
En nuestro trabajo previo con funciones inversas, hemos visto varios principios importantes, incluyendo
Una función \(f\) tiene una función inversa si y solo si existe una función \(g\) que deshace el trabajo de \(f\text{.}\) Tal función \(g\) tiene las propiedades de que \(g(f(x)) = x\) para cada \(x\) en el dominio de \(f\text{,}\) y \(f(g(y)) = y\) para cada \(y\) en el rango de \(f\text{.}\) Llamamos a \(g\) la inversa de \(f\text{,}\) y escribimos \(g = f^{-1}\text{.}\)
Cuando \(f\) tiene una inversa, sabemos que escribir “\(y = f(t)\)” y “\(t = f^{-1}(y)\)” dicen exactamente lo mismo, pero desde dos perspectivas diferentes.
Las funciones trigonométricas \(f(t) = \sin(t)\text{,}\)\(g(t) = \cos(t)\text{,}\) y \(h(t) = \tan(t)\) son periódicas, por lo que cada una no pasa la prueba de la línea horizontal, y por lo tanto estas funciones en sus dominios completos no tienen funciones inversas. Al mismo tiempo, es razonable pensar en cambiar de perspectiva y ver los ángulos como salidas en ciertos contextos restringidos. Por ejemplo, podemos querer decir tanto
dependiendo del contexto en el que estemos considerando la relación entre el ángulo y la longitud del lado.
También es importante entender por qué el problema de encontrar un ángulo en términos de un valor conocido de una función trigonométrica es importante. Supón que sabemos la siguiente información sobre un triángulo rectángulo: un cateto tiene una longitud de \(2.5\text{,}\) y la hipotenusa tiene una longitud de \(4\text{.}\) Si dejamos que \(\theta\) sea el ángulo opuesto al lado de longitud \(2.5\text{,}\) se sigue que \(\sin(\theta) = \frac{2.5}{4}\text{.}\) Naturalmente queremos usar la inversa de la función seno para resolver la ecuación más reciente para \(\theta\text{.}\) Pero la función seno no tiene una función inversa, entonces ¿cómo podemos abordar esta situación?
Mientras que las funciones trigonométricas originales \(f(t) = \sin(t)\text{,}\)\(g(t) = \cos(t)\text{,}\) y \(h(t) = \tan(t)\) no tienen funciones inversas, resulta que podemos considerar versiones restringidas de ellas que sí tienen funciones inversas correspondientes. Así que investigamos cómo podemos pensar de manera diferente sobre las funciones trigonométricas para que podamos discutir las inversas de una manera significativa.
Preview Activity4.3.1.
Considera el gráfico de la función coseno estándar en Figura 4.3.1 junto con la parte enfatizada del gráfico en \([0,\pi]\text{.}\)
Figure4.3.1.La función coseno en \([-\frac{5\pi}{2},\frac{5\pi}{2}]\) con la parte en \([0,\pi]\) enfatizada.
Sea \(g\) la función cuyo dominio es \(0 \le t \le \pi\) y cuyos resultados se determinan por la regla \(g(t) = \cos(t)\text{.}\)Nota bien: \(g\) está definida en términos de la función coseno, pero debido a que tiene un dominio diferente, no es la función coseno.
¿Cuál es el dominio de \(g\text{?}\)
¿Cuál es el rango de \(g\text{?}\)
¿Pasa \(g\) la prueba de la línea horizontal? ¿Por qué o por qué no?
Explica por qué \(g\) tiene una función inversa, \(g^{-1}\text{,}\) y establece el dominio y rango de \(g^{-1}\text{.}\)
Sabemos que \(g(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}\text{.}\) ¿Cuál es el valor exacto de \(g^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{2})\text{?}\) ¿Y el valor exacto de \(g^{-1}(-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{?}\)
Determina los valores exactos de \(g^{-1}(-\frac{1}{2})\text{,}\)\(g^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})\text{,}\)\(g^{-1}(0)\text{,}\) y \(g^{-1}(-1)\text{.}\) Usa la notación adecuada para etiquetar tus resultados.
Subsection4.3.1La función arccoseno
Para la función coseno restringida al dominio \([0,\pi]\) que consideramos en Preview Activity 4.3.1, la función es estrictamente decreciente en su dominio y por lo tanto pasa la Prueba de la Línea Horizontal. Por lo tanto, esta versión restringida de la función coseno tiene una función inversa; llamaremos a esta función inversa la función de arccoseno.
Definition4.3.2.
Supón que \(y = g(t) = \cos(t)\) está definida en el dominio \([0,\pi]\text{,}\) y observa \(g : [0,\pi] \to [-1,1]\text{.}\) Para cualquier número real \(y\) que satisfaga \(-1 \le y \le 1\text{,}\) el arccoseno de \(y\), denotado
\begin{equation*}
\arccos(y)
\end{equation*}
es el ángulo \(t\) que satisface \(0 \le t \le \pi\) tal que \(\cos(t) = y\text{.}\)
Nota particularmente que la salida de la función arccoseno es un ángulo. Además, recuerda que en el contexto del círculo unitario, un ángulo medido en radianes y la longitud del arco correspondiente a lo largo del círculo unitario son numéricamente iguales. Por eso usamos el término “arc” en “arccoseno”: dado un valor \(-1 \le y \le 1\text{,}\) la función arccoseno produce el arco correspondiente (medido en sentido antihorario desde \((1,0)\)) tal que el coseno de ese arco es \(y\text{.}\)
Recordamos que para cualquier función con una función inversa, la función inversa revierte el proceso de la función original. Sabemos que “\(y = \cos(t)\)” puede leerse como decir “\(y\) es el coseno del ángulo \(t\)”. Cambiando de perspectiva y escribiendo la declaración equivalente “\(t = \arccos(y)\)”, leemos esta declaración como “\(t\) es el ángulo cuyo coseno es \(y\)”. Así como \(y = f(t)\) y \(t = f^{-1}(y)\) dicen lo mismo para una función y su inversa en general,
\begin{equation*}
y = \cos(t) \ \text{ y } \ t = \arccos(y)
\end{equation*}
dicen lo mismo para cualquier ángulo \(t\) que satisfaga \(0 \le t \le \pi\text{.}\) También usamos la notación equivalente \(t = \cos^{-1}(y)\) indistintamente con \(t = \arccos(y)\text{.}\) Leemos “\(t = \cos^{-1}(y)\)” como “\(t\) es el ángulo cuyo coseno es \(y\)” o “\(t\) es el coseno inverso de \(y\)”. Las propiedades clave de la función arccoseno se pueden resumir de la siguiente manera.
Propiedades de la función arccoseno.
La función coseno restringida, \(y = g(t) = \cos(t)\text{,}\) está definida en el dominio \([0,\pi]\) con rango \([-1,1]\text{.}\) Esta función tiene una función inversa que llamamos la función arccoseno, denotada \(t = g^{-1}(y) = \arccos(y)\text{.}\)
El dominio de \(y = g^{-1}(t) = \arccos(t)\) es \([-1,1]\) con rango \([0,\pi]\text{.}\)
La función arccoseno siempre es decreciente en su dominio.
A la derecha, un gráfico de la función coseno restringida (en azul claro) y su inversa correspondiente, la función arccoseno (en azul oscuro).
Así como la función logaritmo natural nos permitió reescribir ecuaciones exponenciales de una manera equivalente (por ejemplo, \(y = e^t\) y \(t = \ln(y)\) dicen exactamente lo mismo), la función arccoseno nos permite hacer lo mismo para ciertos ángulos y salidas de coseno. Por ejemplo, decir \(\cos(\frac{\pi}{2}) = 0\) es lo mismo que escribir \(\frac{\pi}{2} = \arccos(0)\text{,}\) que se lee “\(\frac{\pi}{2}\) es el ángulo cuyo coseno es \(0\)”. De hecho, estas relaciones se reflejan en el gráfico anterior, donde vemos que cualquier punto \((a,b)\) que se encuentra en el gráfico de \(y = \cos(t)\) corresponde al punto \((b,a)\) que se encuentra en el gráfico de \(y = \arccos(t)\text{.}\)
Activity4.3.2.
Usa los puntos especiales en el círculo unitario (ver, por ejemplo, Figura 2.3.1) para determinar los valores exactos de cada una de las siguientes expresiones numéricas. Hazlo sin usar un dispositivo de cálculo.
\(\displaystyle \arccos(\frac{1}{2})\)
\(\displaystyle \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})\)
\(\displaystyle \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\displaystyle \arccos(-\frac{1}{2})\)
\(\displaystyle \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})\)
\(\displaystyle \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})\)
\(\displaystyle \arccos(-1)\)
\(\displaystyle \arccos(0)\)
\(\displaystyle \cos(\arccos(-\frac{1}{2}))\)
\(\displaystyle \arccos(\cos(\frac{7\pi}{6}))\)
Subsection4.3.2La función arcseno
Podemos desarrollar una función inversa para una versión restringida de la función seno de manera similar. Al igual que con la función coseno, necesitamos elegir un intervalo en el cual la función seno esté siempre aumentando o siempre disminuyendo para que la función pase la prueba de la línea horizontal. La elección estándar es el dominio \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) en el cual \(f(t) = \sin(t)\) está aumentando y alcanza todos los valores en el rango de la función seno. Así, consideramos \(f(t) = \sin(t)\) de modo que \(f : [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \to [-1,1]\) y por lo tanto definimos la correspondiente función arcseno.
Definition4.3.3.
Sea \(y = f(t) = \sin(t)\) definida en el dominio \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\text{,}\) y observa \(f : [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \to [-1,1]\text{.}\) Para cualquier número real \(y\) que satisfaga \(-1 \le y \le 1\text{,}\) el arcseno de \(y\), denotado
\begin{equation*}
\arcsin(y)
\end{equation*}
es el ángulo \(t\) que satisface \(-\frac{\pi}{2} \le t \le \frac{\pi}{2}\) tal que \(\sin(t) = y\text{.}\)
Activity4.3.3.
El objetivo de esta actividad es entender las propiedades clave de la función arcseno de manera similar a nuestra discusión de la función arccoseno en Subsection 4.3.1.
Usando Definition 4.3.3, ¿cuáles son el dominio y el rango de la función arcseno?
Determina los siguientes valores exactamente: \(\arcsin(-1)\text{,}\)\(\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})\text{,}\)\(\arcsin(0)\text{,}\)\(\arcsin(\frac{1}{2})\text{,}\) y \(\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})\text{.}\)
En los ejes proporcionados en Figure 4.3.4, dibuja un gráfico cuidadoso de la función seno restringida en el intervalo \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) junto con su inversa correspondiente, la función arcseno. Etiqueta al menos tres puntos en cada curva de modo que cada punto en el gráfico del seno corresponda a un punto en el gráfico del arcseno. Además, dibuja la línea \(y = t\) para demostrar cómo los gráficos son reflejos uno del otro a través de esta línea.
Figure4.3.4.Ejes para trazar la función seno restringida y su inversa, la función arcseno.
Verdadero o falso: \(\arcsin(\sin(5\pi)) = 5\pi\text{.}\) Escribe una oración completa para explicar tu razonamiento.
Subsection4.3.3La función arcotangente
Finalmente, desarrollamos una función inversa para una versión restringida de la función tangente. Elegimos el dominio \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) en el cual \(h(t) = \tan(t)\) está aumentando y alcanza todos los valores en el rango de la función tangente.
Definition4.3.5.
Sea \(y = h(t) = \tan(t)\) definida en el dominio \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{,}\) y observa \(h : (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \to (-\infin,\infin)\text{.}\) Para cualquier número real \(y\text{,}\) el arcotangente de \(y\), denotado
\begin{equation*}
\arctan(y)
\end{equation*}
es el ángulo \(t\) que satisface \(-\frac{\pi}{2} \lt t \lt \frac{\pi}{2}\) tal que \(\tan(t) = y\text{.}\)
Activity4.3.4.
El objetivo de esta actividad es entender las propiedades clave de la función arcotangente.
Usando Definition 4.3.5, ¿cuáles son el dominio y el rango de la función arcotangente?
Determina los siguientes valores exactamente: \(\arctan(-\sqrt{3})\text{,}\)\(\arctan(-1)\text{,}\)\(\arctan(0)\text{,}\) y \(\arctan(\frac{1}{\sqrt{3}})\text{.}\)
Un gráfico de la función tangente restringida en el intervalo \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\) se proporciona en Figure 4.3.6. Dibuja su función inversa correspondiente, la función arcotangente, en los mismos ejes. Etiqueta al menos tres puntos en cada curva de modo que cada punto en el gráfico de la tangente corresponda a un punto en el gráfico de la arcotangente. Además, dibuja la línea \(y = t\) para demostrar cómo los gráficos son reflejos uno del otro a través de esta línea.
Figure4.3.6.Ejes para trazar la función tangente restringida y su inversa, la función arcotangente.
Completa la siguiente oración: “as \(t\) increases without bound, \(\arctan(t)\)\(\ldots\)”.
Subsection4.3.4Resumen
Cualquier función que no pase la prueba de la línea horizontal no puede tener una función inversa. Sin embargo, para una función periódica que no pasa la prueba de la línea horizontal, si restringimos el dominio de la función a un intervalo sin salidas repetidas, entonces determinamos una función relacionada que, de hecho, tiene una función inversa. Al elegir dicho intervalo cuidadosamente, es posible que desarrollemos las funciones inversas de las funciones coseno, seno y tangente restringidas.
Elegimos definir las funciones coseno, seno y tangente restringidas en los dominios respectivos \([0,\pi]\text{,}\)\([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{,}\) y \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\text{.}\) En cada uno de estos intervalos, la función restringida es estrictamente decreciente (coseno) o estrictamente creciente (seno y tangente), y por lo tanto tiene una función inversa. Las funciones seno y coseno restringidas tienen cada una un rango de \([-1,1]\text{,}\) mientras que el rango de la tangente restringida es el conjunto de todos los números reales. Así, definimos la función inversa de cada una de la siguiente manera:
Para cualquier \(y\) tal que \(-1 \le y \le 1\text{,}\) el arcocoseno de \(y\) (denotado \(\arccos(y)\)) es el ángulo \(t\) en el intervalo \([0,\pi]\) tal que \(\cos(t) = y\text{.}\) Es decir, \(t\) es el ángulo cuyo coseno es \(y\text{.}\)
Para cualquier \(y\) tal que \(-1 \le y \le 1\text{,}\) el arcseno de \(y\) (denotado \(\arcsin(y)\)) es el ángulo \(t\) en el intervalo \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) tal que \(\sin(t) = y\text{.}\) Es decir, \(t\) es el ángulo cuyo seno es \(y\text{.}\)
Para cualquier número real \(y\text{,}\) el arcotangente de \(y\) (denotado \(\arctan(y)\)) es el ángulo \(t\) en el intervalo \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\) tal que \(\tan(t) = y\text{.}\) Es decir, \(t\) es el ángulo cuyo tangente es \(y\text{.}\)
Para discutir las propiedades de las tres funciones trigonométricas inversas, las graficamos en los mismos ejes que sus correspondientes funciones trigonométricas restringidas. Cuando lo hacemos, usamos \(t\) como la variable de entrada para ambas funciones simultáneamente para que podamos graficarlas en los mismos ejes de coordenadas.
El dominio de \(y = g^{-1}(t) = \arccos(t)\) es \([-1,1]\) con el rango correspondiente \([0,\pi]\text{,}\) y la función arcocoseno está siempre decreciendo. Estos hechos corresponden al dominio y rango de la función coseno restringida y al hecho de que la función coseno restringida está decreciendo en \([0,\pi]\text{.}\)
Figure4.3.7.La función coseno restringida (en azul claro) y su inversa, \(y = g^{-1}(t) = \arccos(t)\) (en azul oscuro).
Figure4.3.8.La función seno restringida (en azul claro) y su inversa, \(y = f^{-1}(t) = \arcsin(t)\) (en azul oscuro).
El dominio de \(y = f^{-1}(t) = \arcsin(t)\) es \([-1,1]\) con el rango correspondiente \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\text{,}\) y la función arcseno está siempre aumentando. Estos hechos corresponden al dominio y rango de la función seno restringida y al hecho de que la función seno restringida está aumentando en \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\text{.}\)
El dominio de \(y = f^{-1}(t) = \arctan(t)\) es el conjunto de todos los números reales con el rango correspondiente \((-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\text{,}\) y la función arcotangente está siempre aumentando. Estos hechos corresponden al dominio y rango de la función tangente restringida y al hecho de que la función tangente restringida está aumentando en \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{.}\)
Figure4.3.9.La función tangente restringida (en azul claro) y su inversa, \(y = h^{-1}(t) = \arctan(t)\) (en azul oscuro).
Exercises4.3.5Exercises
1.
Usa los puntos especiales en el círculo unitario (ver, por ejemplo, Figure 2.3.1) para determinar los valores exactos de cada una de las siguientes expresiones numéricas. Hazlo sin usar un dispositivo de cálculo.
Para cada una de las siguientes afirmaciones, determina si la declaración es verdadera o falsa. Si es verdadera, escribe una oración para justificar tu razonamiento. Si es falsa, da un ejemplo de un valor que muestre que la afirmación falla.
Para cualquier \(y\) tal que \(-1 \le y \le 1\text{,}\)\(\sin(\arcsin(y)) = y\text{.}\)
Para cualquier número real \(t\text{,}\)\(\arcsin(\sin(t)) = t\text{.}\)
Para cualquier número real \(t\text{,}\)\(\arccos(\cos(t)) = t\text{.}\)
Para cualquier \(y\) tal que \(-1 \le y \le 1\text{,}\)\(\cos(\arccos(y)) = y\text{.}\)
Para cualquier número real \(y\text{,}\)\(\tan(\arctan(y)) = y\text{.}\)
Para cualquier número real \(t\text{,}\)\(\arctan(\tan(t)) = t\text{.}\)
3.
Consideremos la función compuesta \(h(x) = \cos(\arcsin(x))\text{.}\) Esta función tiene sentido considerarla ya que la función arcseno produce un ángulo, en el cual la función coseno puede ser evaluada. En las preguntas que siguen, investigamos cómo expresar \(h\) sin usar funciones trigonométricas en absoluto.
¿Cuál es el dominio de \(h\text{?}\) ¿El rango de \(h\text{?}\)
Dado que la función arcseno produce un ángulo, digamos que \(\theta = \arcsin(x)\text{,}\) de modo que \(\theta\) es el ángulo cuyo seno es \(x\text{.}\) Por definición, podemos imaginar \(\theta\) como un ángulo en un triángulo rectángulo con hipotenusa \(1\) y una pierna vertical de longitud \(x\text{,}\) como se muestra en Figure 4.3.10. Usa el Teorema de Pitágoras para determinar la longitud de la pierna horizontal como una función de \(x\text{.}\)
Figure4.3.10.El triángulo rectángulo que corresponde al ángulo \(\theta = \arcsin(x)\text{.}\)
Figure4.3.11.El triángulo rectángulo que corresponde al ángulo \(\alpha = \arctan(x)\text{.}\)
¿Cuál es el valor de \(\cos(\theta)\) como una función de \(x\text{?}\) ¿Qué hemos demostrado sobre \(h(x) = \cos(\arcsin(x))\text{?}\)
¿Qué tal la función \(p(x) = \cos(\arctan(x))\text{?}\) ¿Cómo puedes razonar de manera similar para escribir \(p\) de una manera que no involucre funciones trigonométricas en absoluto? (Pista: deja que \(\alpha = \arctan(x)\) y considera el triángulo rectángulo en Figure 4.3.11.)
