Preludio Activo al Cálculo

Ya hemos establecido que cualquier función exponencial de la forma \(f(t) = ab^t\) donde \(a\) y \(b\) son números reales positivos con \(b \ne 1\) es siempre cóncava hacia arriba y es siempre creciente o siempre decreciente. A continuación, introducimos un lenguaje preciso para describir el comportamiento del valor de una función exponencial a medida que \(t\) se hace más y más grande. Para empezar, consideremos las dos funciones exponenciales básicas \(p(t) = 2^t\) y \(q(t) = (\frac{1}{2})^t\) y sus respectivos valores en \(t = 10\text{,}\) \(t = 20\text{,}\) y \(t = 30\text{,}\) como se muestra en Table 3.2.3 y Table 3.2.4.

Para la función creciente \(p(t) = 2^t\text{,}\) vemos que el resultado de la función se hace muy grande muy rápidamente. Además, no hay un límite superior para cuán grande puede ser la función. De hecho, podemos hacer que el valor de \(p(t)\) sea tan grande como queramos tomando \(t\) suficientemente grande. Así, decimos que a medida que \(t\) aumenta, \(p(t)\) aumenta sin límite.

Para la función decreciente \(q(t) = (\frac{1}{2})^t\text{,}\) vemos que el resultado \(q(t)\) es siempre positivo pero se acerca cada vez más a \(0\text{.}\) De hecho, porque podemos hacer que \(2^t\) sea tan grande como queramos, se sigue que podemos hacer su recíproco \(\frac{1}{2^t} = (\frac{1}{2})^t\) tan pequeño como queramos. Así, decimos que a medida que \(t\) aumenta, \(q(t)\) se aproxima a \(0\).

Para representar estos dos fenómenos comunes con funciones exponenciales—el valor aumentando sin límite o el valor aproximándose a \(0\)—usaremos notación abreviada. Primero, es natural escribir “\(q(t) \to 0\)” a medida que \(t\) aumenta sin límite. Además, dado que tenemos la noción de lo infinito para representar cantidades sin límite, usamos el símbolo de infinito y la notación de flecha (\(\infty\)) y escribimos “\(p(t) \to \infty\)” a medida que \(t\) aumenta sin límite para indicar que \(p(t)\) aumenta sin límite.

En Preview Activity 3.2.1, vimos cómo el valor de \(b\) afecta la inclinación del gráfico de \(f(t) = ab^t\text{,}\) así como cómo todos los gráficos con \(b \gt 1\) tienen un comportamiento creciente similar, y todos los gráficos con \(0 \lt b \lt 1\) tienen un comportamiento decreciente similar. Por ejemplo, tomando \(t\) suficientemente grande, podemos hacer que \((1.01)^t\) sea tan grande como queramos; solo se necesita un \(t\) mucho mayor para hacer que \((1.01)^t\) sea grande en comparación con \(2^t\text{.}\) De la misma manera, podemos hacer que \((0.99)^t\) se acerque a \(0\) tanto como queramos tomando \(t\) suficientemente grande, aunque toma más tiempo para que \((0.99)^t\) se acerque a \(0\) en comparación con \((\frac{1}{2})^t\text{.}\) Para una elección arbitraria de \(b\text{,}\) podemos decir lo siguiente.

Observaciones similares se mantienen para la relación entre los gráficos de \(b^{t}\) y \(\frac{1}{b^t} = b^{-t}\) para cualquier \(b\) positivo \(\ne 1\text{.}\)

La función \(g(t) = ab^t + c\) es una traslación vertical de la función \(f(t) = ab^t\text{.}\) Ahora tenemos un entendimiento extenso del comportamiento de \(f(t)\) y cómo ese comportamiento depende de \(a\) y \(b\text{.}\) Dado que una traslación vertical por \(c\) no cambia la forma de ningún gráfico, esperamos que \(g\) muestre un comportamiento muy similar al de \(f\text{.}\) De hecho, podemos comparar los gráficos de las dos funciones como se muestra en Figure 3.2.6 y Figure 3.2.7 y luego hacer las siguientes observaciones generales.

También es posible que \(a \lt 0\text{.}\) En esta situación, porque \(g(t) = ab^t\) es tanto una reflexión de \(f(t) = b^t\) a través del eje \(x\) como un estiramiento vertical por \(|a|\text{,}\) la función \(g\) siempre es cóncava hacia abajo. Si \(0 \lt b \lt 1\) de modo que \(f\) siempre está decreciendo, entonces \(g\) siempre está creciendo; si en cambio \(b \gt 1\) de modo que \(f\) está creciendo, entonces \(g\) está decreciendo. Además, en lugar de que el rango de la función \(g\) tenga un límite inferior como cuando \(a \gt 0\text{,}\) en este caso el rango de \(g\) tiene un límite superior. Estas ideas se exploran más a fondo en Activity 3.2.2.

Es una habilidad importante poder mirar una función exponencial de la forma \(g(t) = ab^t + c\) y formar una imagen mental precisa de las características principales del gráfico a la luz de los valores de \(a\text{,}\) \(b\) y \(c\text{.}\)

La Ley de Enfriamiento de Newton establece que la tasa a la que un objeto se calienta o enfría ocurre en proporción directa a la diferencia entre su propia temperatura y la temperatura de su entorno. Si volvemos a los datos de temperatura del café en Table 3.2.1 y recordamos que la temperatura ambiente en ese experimento era \(71^\circ\text{,}\) podemos ver cómo usar una función exponencial transformada para modelar los datos. En Table 3.2.8, añadimos una fila de información a la tabla donde calculamos \(F(t)-71\) para restar la temperatura ambiente de cada lectura.

Si elegimos dos de los puntos de datos, digamos \((18,64)\) y \((23,56)\text{,}\) y asumimos que \(f(t) = ab^t\text{,}\) podemos determinar los valores de \(a\) y \(b\text{.}\) Haciendo esto, resulta que \(a \approx 103.503\) y \(b \approx 0.974\text{,}\) así que \(f(t) = 103.503 ( 0.974)^t\text{.}\) Dado que \(f(t) = F(t) - 71\text{,}\) vemos que \(F(t) = f(t) + 71\text{,}\) así que \(F(t) = 103.503 (0.974)^t + 71\text{.}\) Trazando \(f\) contra los datos ajustados y \(F\) junto con los datos originales en Figure 3.2.9 y Figure 3.2.10, vemos que las curvas pasan exactamente por los puntos donde \(t = 18\) y \(t = 23\) como se esperaba, pero también que la función proporciona un modelo razonable para el comportamiento observado en cualquier momento \(t\text{.}\) Si nuestros datos fueran aún más precisos, esperaríamos que el ajuste de la curva fuera aún mejor.

Nuestro trabajo anterior con los datos del café se puede hacer de manera similar con datos para cualquier objeto que se enfríe o caliente cuya temperatura inicialmente difiera de la de su entorno. De hecho, es posible mostrar que la Ley de Enfriamiento de Newton implica que la temperatura del objeto está dada por una función de la forma \(F(t) = ab^t + c\text{.}\)