Preludio Activo al Cálculo

Sabemos que las funciones estándar \(f(t) = \sin(t)\) y \(g(t) = \cos(t)\) son funciones circulares que tienen cada una una línea media \(y = 0\text{,}\) amplitud \(a = 1\text{,}\) periodo \(p = 2\pi\) y rango \([-1,1]\text{.}\) Nuestro trabajo en Preview Activity 2.4.1 sugiere los siguientes principios generales.

En Figure 2.4.1, vemos cómo la transformación general \(k(t) = a\cos(t-b)+c\) proviene de ejecutar una secuencia de transformaciones más simples. La función madre original \(y = \cos(t)\) (en gris oscuro) se desplaza primero \(b\) unidades a la derecha para generar la gráfica en rojo claro de \(y = \cos(t - b)\text{.}\) A su vez, esa gráfica se escala verticalmente por \(a\) para generar la gráfica púrpura de \(y = a\cos(t-b)\text{.}\) Finalmente, la gráfica púrpura se desplaza \(c\) unidades verticalmente para resultar en la gráfica final de \(y = a\cos(t-b) + c\) en azul.

A menudo es útil seguir un punto particular a través de una secuencia de transformaciones. En Figure 2.4.1, vemos el punto rojo que se encuentra en \((0,1)\) en la función original \(y = \cos(t)\text{,}\) así como el punto \((b, a+c)\) que es el punto correspondiente en \(k(t) = a\cos(t-b) + c\) bajo la transformación general. Nota que el punto \((b,a+c)\) resulta de la entrada, \(t = b\text{,}\) que hace que el argumento de la función coseno sea cero: \(k(b) = a\cos(b-b) + c = a\cos(0) + c\text{.}\)

Aunque las funciones seno y coseno se extienden infinitamente en ambas direcciones, es natural pensar en el punto \((0,1)\) como el “punto de inicio” de la función coseno, y de manera similar el punto \((0,0)\) como el punto de inicio de la función seno. Nos referiremos al punto correspondiente \((b,a+c)\) en \(k(t) = a\cos(t-b) + c\text{,}\) y \((b,c)\) en \(h(t) = a\sin(t-b) + c\text{,}\) respectivamente, como el punto de anclaje. El punto de anclaje, junto con otra información sobre la amplitud, línea media y periodo de una función circular, nos ayuda a determinar una fórmula para una función que se ajuste a una situación dada.

Por ejemplo, en Figure 2.4.1, el punto de anclaje \((b,a+c)\) en \(y = a\cos(t-b)+c\) corresponde al “punto de inicio” \((0,1)\) en \(y = \cos(t)\text{.}\)

Hay una transformación muy importante de una función que aún no hemos explorado. Dada una función \(y = f(x)\text{,}\) queremos entender la función relacionada \(g(x) = f(kx)\text{,}\) donde \(k\) es un número real positivo. Las funciones seno y coseno son funciones ideales con las cuales explorar estos efectos; además, esta transformación es crucial para poder usar las funciones seno y coseno para modelar fenómenos que oscilan a diferentes frecuencias.

En el Figura 2.4.2 interactivo, podemos explorar el efecto de la transformación \(g(t) = f(kt)\text{,}\) donde \(f(t) = \sin(t)\text{.}\)

Experimentando con el deslizador, obtenemos una sensación intuitiva de cómo el valor de \(k\) afecta la gráfica de \(h(t) = f(kt)\) en comparación con la gráfica de \(f(t)\text{.}\) Cuando \(k = 2\text{,}\) vemos que la gráfica de \(h\) oscila el doble de rápido que la gráfica de \(f\) ya que \(h(t) = f(2t)\) completa dos ciclos completos en un intervalo en el que \(f\) completa un ciclo completo. En contraste, cuando \(k = \frac{1}{2}\text{,}\) la gráfica de \(h\) oscila la mitad de rápido que la gráfica de \(f\text{,}\) ya que \(h(t) = f(\frac{1}{2}t)\) completa solo la mitad de un ciclo en un intervalo donde \(f(t)\) completa uno completo.

Aunque pronto nos enfocaremos en los estiramientos horizontales de las funciones seno y coseno para el resto de esta sección, es importante notar que el escalado horizontal sigue los mismos principios para cualquier función que elijamos.

Dado que la circunferencia del círculo unitario es \(2\pi\text{,}\) las funciones seno y coseno tienen un período de \(2\pi\text{.}\) Por supuesto, al pensar en usar transformaciones de las funciones seno y coseno para modelar diferentes fenómenos, es evidente que necesitaremos generar funciones con períodos diferentes a \(2\pi\text{.}\) Por ejemplo, si una rueda de la fortuna da una vuelta completa cada \(5\) minutos, querríamos que el período de la función que modela la altura de un carro en función del tiempo sea \(P = 5\text{.}\) El escalado horizontal de funciones nos permite generar funciones circulares con cualquier período que deseemos.

Comenzamos considerando dos ejemplos básicos. Primero, sea \(f(t) = \sin(t)\) y \(g(t) = f(2t) = \sin(2t)\text{.}\) Sabemos por nuestro trabajo más reciente que esta transformación resulta en una compresión horizontal del gráfico de \(\sin(t)\) por un factor de \(\frac{1}{2}\) hacia el eje \(y\text{.}\) Si graficamos las dos funciones en los mismos ejes como se ve en Figura 2.4.5, se hace evidente cómo esta transformación afecta el período de \(f\text{.}\)

Desde el gráfico, vemos que \(g(t) = \sin(2t)\) oscila el doble de frecuentemente que \(f(t) = \sin(t)\text{,}\) y que \(g\) completa un ciclo completo en el intervalo \([0,\pi]\text{,}\) que es la mitad de la longitud del período de \(f\text{.}\) Así, el “\(2\)” en \(f(2t)\) hace que el período de \(f\) sea \(\frac{1}{2}\) de largo; específicamente, el período de \(g\) es \(P = \frac{1}{2} (2\pi) = \pi\text{.}\)

Por otro lado, si dejamos que \(h(t) = f(\frac{1}{2}t) = \sin(\frac{1}{2}t)\text{,}\) el gráfico transformado \(h\) se estira alejándose del eje \(y\) por un factor de \(2\text{.}\) Esto tiene el efecto de duplicar el período de \(f\text{,}\) de modo que el período de \(h\) es \(P = 2 \cdot 2\pi = 4\pi\text{,}\) como se ve en Figura 2.4.6.

Nuestras observaciones se generalizan para cualquier constante positiva \(k \gt 0\text{.}\) En el caso donde \(k = 2\text{,}\) vimos que el período de \(g(t) = \sin(2t)\) es \(P = \frac{1}{2} \cdot 2\pi\text{,}\) mientras que en el caso donde \(k = \frac{1}{2}\text{,}\) el período de \(h(t) = \sin(\frac{1}{2}t)\) es \(P = 2 \cdot 2\pi = \frac{1}{\frac{1}{2}} \cdot 2\pi\text{.}\) El mismo razonamiento se aplica si estamos trabajando con la función coseno. En general, podemos decir lo siguiente.

Así, si conocemos el valor de \(k\) de la función dada, podemos deducir el período. Si en cambio conocemos el período deseado, podemos determinar \(k\) mediante la regla \(k = \frac{2\pi}{P}\text{.}\)