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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 3.1 Crecimiento y Decrecimiento Exponencial

Las funciones lineales tienen una tasa de cambio promedio constante y modelan muchos fenómenos importantes. En otros contextos, es natural que una cantidad cambie a una tasa que es proporcional a la cantidad presente. Por ejemplo, ya sea que pongas $\(100\) o $\(100000\) o cualquier otra cantidad en un fondo mutuo, el valor de la inversión cambia a una tasa proporcional a la cantidad presente. A menudo medimos esa tasa en términos de la tasa de porcentaje anual de retorno.
Supón que un cierto fondo mutuo tiene un retorno anual del \(10\)%. Si invertimos $\(100\text{,}\) después de \(1\) año todavía tenemos los $\(100\) originales, más ganamos el \(10\)% de $\(100\text{,}\) así que
\begin{equation*} 100 \overset{\text{year } 1}{\longrightarrow} 100 + 0.1(100) = 1.1(100)\text{.} \end{equation*}
Si en cambio invertimos $\(100000\text{,}\) después de \(1\) año nuevamente tenemos los $\(100000\) originales, pero ahora ganamos el \(10\)% de $\(100000\text{,}\) y así
\begin{equation*} 100000 \overset{\text{year } 1}{\longrightarrow} 100000 + 0.1(100000) = 1.1(100000)\text{.} \end{equation*}
Por lo tanto, vemos que independientemente de la cantidad de dinero originalmente invertida, digamos \(P\text{,}\) la cantidad de dinero que tenemos después de \(1\) año es \(1.1P\text{.}\)
Si repetimos nuestros cálculos para el segundo año, observamos que
\begin{equation*} 1.1(100) \overset{\text{year } 2}{\longrightarrow} 1.1(100) + 0.1(1.1(100)) = 1.1(1.1(100)) = 1.1^2 (100)\text{.} \end{equation*}
Las ideas son idénticas con el valor en dólares más grande, así que
\begin{equation*} 1.1(100000) \overset{\text{year } 2}{\longrightarrow} 1.1(100000) + 0.1(1.1(100000)) = 1.1(1.1(100000)) = 1.1^2 (100000)\text{,} \end{equation*}
y vemos que si invertimos \(P\) dólares, en \(2\) años nuestra inversión crecerá a \(1.1^2 P\text{.}\)
Por supuesto, en \(3\) años al \(10\)%, la inversión original \(P\) habrá crecido a \(1.1^3 P\text{.}\) Aquí vemos un nuevo tipo de patrón desarrollándose: el crecimiento anual del \(10\)% está llevando a potencias de la base \(1.1\text{,}\) donde la potencia a la que elevamos \(1.1\) corresponde al número de años que la inversión ha crecido. A menudo llamamos a este fenómeno crecimiento exponencial.

Preview Activity 3.1.1.

Supón que a los \(20\) años tienes $\(20000\) y puedes elegir entre una de dos formas de usar el dinero: puedes invertirlo en un fondo mutuo que, en promedio, ganará un \(8\)% de interés anual, o puedes comprar un automóvil nuevo que, en promedio, se depreciará un \(12\)% anual. Vamos a explorar cómo cambian los $\(20000\) con el tiempo.
Sea \(I(t)\) el valor de los $\(20000\) después de \(t\) años si se invierte en el fondo mutuo, y sea \(V(t)\) el valor del automóvil \(t\) años después de ser comprado.
  1. Determina \(I(0)\text{,}\) \(I(1)\text{,}\) \(I(2)\text{,}\) y \(I(3)\text{.}\)
  2. Nota que si una cantidad se deprecia un \(12\)% anual, después de un año dado, queda el \(88\)% de la cantidad. Calcula \(V(0)\text{,}\) \(V(1)\text{,}\) \(V(2)\text{,}\) y \(V(3)\text{.}\)
  3. Con base en los patrones en tus cálculos en (a) y (b), determina fórmulas para \(I(t)\) y \(V(t)\text{.}\)
  4. Usa Desmos para definir \(I(t)\) y \(V(t)\text{.}\) Traza cada función en el intervalo \(0 \le t \le 20\) y registra tus resultados en los ejes en Figura 3.1.1, asegurándote de etiquetar la escala en los ejes. ¿Qué tendencias observas en los gráficos? ¿Cómo se comparan \(I(20)\) y \(V(20)\text{?}\)
    Figure 3.1.1. Ejes en blanco para trazar \(I\) y \(V\text{.}\)

Subsection 3.1.1 Funciones exponenciales de la forma \(f(t) = ab^t\)

En Preview Activity 3.1.1, encontramos las funciones \(I(t)\) y \(V(t)\) que tenían la misma estructura básica. Cada una puede escribirse en la forma \(g(t) = ab^t\) donde \(a\) y \(b\) son constantes positivas y \(b \ne 1\text{.}\) Basándonos en nuestro trabajo anterior con transformaciones, sabemos que la constante \(a\) es un factor de escala vertical, y por lo tanto, el comportamiento principal de la función proviene de \(b^t\text{,}\) a la que llamamos una “función exponencial”.

Definition 3.1.2.

Sea \(b\) un número real tal que \(b \gt 0\) y \(b \ne 1\text{.}\) Llamamos a la función definida por
\begin{equation*} f(t) = b^t \end{equation*}
una función exponencial con base \(b\text{.}\)
Para una función exponencial \(f(t) = b^t\text{,}\) notamos que \(f(0) = b^0 = 1\text{,}\) por lo que una función exponencial de esta forma siempre pasa por \((0,1)\text{.}\) Además, debido a que un número positivo elevado a cualquier potencia siempre es positivo (por ejemplo, \(2^{10} = 1024\) y \(2^{-10} = \frac{1}{2^{10}} = \frac{1}{1024}\)), el resultado de una función exponencial también es siempre positivo. En particular, \(f(t) = b^t\) nunca es cero y por lo tanto no tiene intersecciones con el eje \(x\text{.}\)
Dado que frecuentemente nos interesarán funciones como \(I(t)\) y \(V(t)\) con la forma \(ab^t\text{,}\) también nos referiremos a funciones de esta forma como “exponenciales”, entendiendo que técnicamente estas son estiramientos verticales de funciones exponenciales según la Definición 3.1.2. En Preview Activity 3.1.1, encontramos que \(I(t) = 20000(1.08)^t\) y \(V(t) = 20000(0.88)^t\text{.}\) Es natural llamar a \(1.08\) el “factor de crecimiento” de \(I\) y de manera similar a \(0.88\) el factor de crecimiento de \(V\text{.}\) Además, notamos que estos valores provienen de las tasas de crecimiento reales: \(0.08\) para \(I\) y \(-0.12\) para \(V\text{,}\) siendo esta última negativa porque el valor está depreciándose. En general, para una función de la forma \(f(t) = ab^t\text{,}\) llamamos a \(b\) el factor de crecimiento. Además, si \(b = 1+r\text{,}\) llamamos a \(r\) la tasa de crecimiento. Siempre que \(b \gt 1\text{,}\) a menudo decimos que la función \(f\) está exhibiendo “crecimiento exponencial”, mientras que si \(0 \lt b \lt 1\text{,}\) decimos que \(f\) exhibe “decrecimiento exponencial”.
Exploramos las propiedades de las funciones de la forma \(f(t) = ab^t\) más a fondo en Activity 3.1.2.

Activity 3.1.2.

En Desmos, define la función \(g(t) = ab^t\) y crea deslizadores para \(a\) y \(b\) cuando se te pida. Haz clic en los deslizadores para establecer el valor mínimo de cada uno en \(0.1\) y el valor máximo en \(10\text{.}\) Nota que para que \(g\) sea una función exponencial, requerimos que \(b \ne 1\text{,}\) aunque el deslizador para \(b\) permitirá este valor.
  1. ¿Cuál es el dominio de \(g(t) = ab^t\text{?}\)
  2. ¿Cuál es el rango de \(g(t) = ab^t\text{?}\)
  3. ¿Cuál es la intersección con el eje \(y\) de \(g(t) = ab^t\text{?}\)
  4. ¿Cómo afecta el cambio en el valor de \(b\) la forma y el comportamiento del gráfico de \(g(t) = ab^t\text{?}\) Escribe varias oraciones para explicar.
  5. ¿Para qué valores del factor de crecimiento \(b\) la tasa de crecimiento correspondiente es positiva? ¿Para qué valores de \(b\) la tasa de crecimiento es negativa?
  6. Considera los gráficos de las funciones exponenciales \(p\) y \(q\) proporcionados en Figure 3.1.3. Si \(p(t) = ab^t\) y \(q(t) = cd^t\text{,}\) ¿qué puedes decir sobre los valores \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) \(c\) y \(d\) (más allá del hecho de que todos son positivos y \(b \ne 1\) y \(d \ne 1\))? Por ejemplo, ¿puedes decir que un cierto valor es mayor que otro? ¿O que uno de los valores es menor que \(1\text{?}\)
    Figure 3.1.3. Gráficos de las funciones exponenciales \(p\) y \(q\text{.}\)

Subsection 3.1.2 Determinando fórmulas para funciones exponenciales

Para entender mejor los roles que \(a\) y \(b\) juegan en una función exponencial, comparemos funciones exponenciales y lineales. En Table 3.1.4 y Table 3.1.5, vemos la salida para dos funciones diferentes \(r\) y \(s\) que corresponden a entradas igualmente espaciadas.
\(t\) \(0\) \(3\) \(6\) \(9\)
\(r(t)\) \(12\) \(10\) \(8\) \(6\)
Table 3.1.4. Datos para la función \(r\text{.}\)
\(t\) \(0\) \(3\) \(6\) \(9\)
\(s(t)\) \(12\) \(9\) \(6.75\) \(5.0625\)
Table 3.1.5. Datos para la función \(s\text{.}\)
En Table 3.1.4, vemos una función que exhibe una tasa de cambio promedio constante ya que el cambio en la salida es siempre \(\triangle r = -2\) para cualquier cambio en la entrada de \(\triangle t = 3\text{.}\) Dicho de otra manera, \(r\) es una función lineal con pendiente \(m = -\frac{2}{3}\text{.}\) Dado que su intersección con el eje \(y\) es \((0,12)\text{,}\) la fórmula de la función es \(y = r(t) = 12 - \frac{2}{3}t\text{.}\)
En contraste, la función \(s\) dada por Table 3.1.5 no exhibe una tasa de cambio promedio constante. En su lugar, está presente otro patrón. Observa que si consideramos las razones de las salidas consecutivas en la tabla, vemos que
\begin{equation*} \frac{9} {12}= \frac{3}{4}, \frac{6.75}{9} = 0.75 = \frac{3}{4}, \text{ y } \frac{5.0625}{6.75} = 0.75 = \frac{3}{4}\text{.} \end{equation*}
Así que, donde las diferencias en las salidas en Table 3.1.4 son constantes, las razones en las salidas en Table 3.1.5 son constantes. Esto último es una característica distintiva de las funciones exponenciales y puede usarse para ayudarnos a determinar la fórmula de una función para la cual tenemos cierta información.
Si sabemos que una cierta función es lineal, basta con conocer dos puntos que se encuentran en la línea para determinar la fórmula de la función. Resulta que las funciones exponenciales son similares: conocer dos puntos en el gráfico de una función que se sabe que es exponencial es suficiente información para determinar la fórmula de la función. En el siguiente ejemplo, mostramos cómo conocer dos valores de una función exponencial nos permite encontrar tanto \(a\) como \(b\) exactamente.

Example 3.1.6.

Supón que \(p\) es una función exponencial y sabemos que \(p(2) = 11\) y \(p(5) = 18\text{.}\) Determina los valores exactos de \(a\) y \(b\) para los cuales \(p(t) = ab^t\text{.}\)
Solution.
Dado que sabemos que \(p(t) = ab^t\text{,}\) los dos puntos de datos nos dan dos ecuaciones en las incógnitas \(a\) y \(b\text{.}\) Primero, usando \(t = 2\text{,}\)
\begin{equation} ab^2 = 11\text{,}\tag{3.1.1} \end{equation}
y usando \(t = 5\) también tenemos
\begin{equation} ab^5 = 18\text{.}\tag{3.1.2} \end{equation}
Porque sabemos que el cociente de las salidas de una función exponencial correspondiente a entradas igualmente espaciadas debe ser constante, consideramos naturalmente el cociente \(\frac{18}{11}\text{.}\) Usando Equation (3.1.1) y Equation (3.1.2), se sigue que
\begin{equation*} \frac{18}{11} = \frac{ab^5}{ab^2}\text{.} \end{equation*}
Simplificando la fracción a la derecha, vemos que \(\frac{18}{11} = b^3 \text{.}\) Resolviendo para \(b\text{,}\) encontramos que \(b = \sqrt[3]{\frac{18}{11}}\) es el valor exacto de \(b\text{.}\) Sustituyendo este valor de \(b\) en Equation (3.1.1), se sigue que \(a \left( \sqrt[3]{\frac{18}{11}} \right)^2 = 11\text{,}\) así que \(a = \frac{11}{\left( \frac{18}{11} \right)^{2/3}} \text{.}\) Por lo tanto,
\begin{equation*} p(t) = \frac{11}{\left( \frac{18}{11} \right)^{2/3}} \left( \sqrt[3]{\frac{18}{11}} \right)^t \approx 7.9215 \cdot 1.1784^t\text{,} \end{equation*}
y un gráfico de \(y = p(t)\) confirma que la función efectivamente pasa por \((2,11)\) y \((5,18)\) como se muestra en Figure 3.1.7.
Figure 3.1.7. Gráfico de \(p(t) = ab^t\) que pasa por \((2,11)\) y \((5,18)\text{.}\)

Activity 3.1.3.

El valor de un automóvil está depreciándose. Cuando el coche tiene \(3\) años, su valor es $\(12500\text{;}\) cuando el coche tiene \(7\) años, su valor es $\(6500\text{.}\)
  1. Supón que el valor del coche \(t\) años después de su compra está dado por la función \(V(t)\) y que \(V\) es exponencial con la forma \(V(t) = ab^t\text{,}\) ¿cuáles son los valores de \(a\) y \(b\text{?}\) Encuentra \(a\) y \(b\) tanto exactamente como aproximadamente.
  2. Usando el modelo exponencial determinado en (a), determina el valor de compra del coche y luego usa Desmos para estimar cuándo el coche valdrá menos de $\(1000\text{.}\)
  3. Supón en cambio que el valor del coche está modelado por una función lineal \(L\) y satisface los valores indicados al inicio de esta actividad. Encuentra una fórmula para \(L(t)\) y determina tanto el valor de compra del coche como cuándo valdrá $\(1000\text{.}\)
  4. ¿Cuál modelo crees que es más realista? ¿Por qué?

Subsection 3.1.4 Resumen

  • Decimos que una función es exponencial siempre que su forma algebraica sea \(f(t) = ab^t\) para algunas constantes positivas \(a\) y \(b\) donde \(b \ne 1\text{.}\) (Técnicamente, la definición formal de una función exponencial es una de la forma \(f(t) = b^t\text{,}\) pero en nuestro uso cotidiano del término “exponencial” incluimos estiramientos verticales de estas funciones y, por lo tanto, permitimos que \(a\) sea cualquier constante positiva, no solo \(a = 1\)).
  • Para determinar la fórmula de una función exponencial de la forma \(f(t) = ab^t\text{,}\) necesitamos saber dos piezas de información. Típicamente, esta información se presenta de una de dos maneras.
    • Si sabemos la cantidad, \(a\text{,}\) de una cantidad en el tiempo \(t = 0\) y la tasa, \(r\text{,}\) a la que la cantidad crece o decae por unidad de tiempo, entonces se sigue que \(f(t) = a(1+r)^t\text{.}\) En este contexto, \(r\) a menudo se da como un porcentaje que convertimos a un decimal (por ejemplo, si la cantidad crece a una tasa de \(7\)% por año, establecemos \(r = 0.07\text{,}\) por lo que \(b = 1.07\)).
    • Si conocemos dos puntos en el gráfico de la función exponencial, entonces podemos establecer un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resolver tanto para \(a\) como para \(b\) exactamente. En esta situación, es útil considerar el cociente de las dos salidas conocidas, como se demuestra en Ejemplo 3.1.6.
  • Las funciones exponenciales de la forma \(f(t) = ab^t\) (donde \(a\) y \(b\) son ambos positivos y \(b \ne 1\)) exhiben las siguientes características importantes:
    • El dominio de cualquier función exponencial es el conjunto de todos los números reales y el rango de cualquier función exponencial es el conjunto de todos los números reales positivos.
    • La intersección con el eje \(y\) de la función exponencial \(f(t) = ab^t\) es \((0,a)\) y la función no tiene intersecciones con el eje \(x\text{.}\)
    • Si \(b \gt 1\text{,}\) entonces la función exponencial siempre está aumentando y siempre aumenta a una tasa creciente. Si \(0 \lt b \lt 1\text{,}\) entonces la función exponencial siempre está disminuyendo y siempre disminuye a una tasa creciente.

Exercises 3.1.5 Exercises

1.

El glaciar Grinnell en el Parque Nacional Glacier en Montana cubría alrededor de \(142\) acres en 2007 y se encontró que estaba disminuyendo a aproximadamente \(4.4\)% por año.
 2 
Ver Ejercicio 34 en la p. 146 de Functions Modeling Change de Connally.
  1. Deja que \(G(t)\) denote el área del glaciar Grinnell en acres en el año \(t\text{,}\) donde \(t\) es el número de años desde 2007. Encuentra una fórmula para \(G(t)\) y define la función en Desmos.
  2. ¿Cuántos acres de hielo había en el glaciar en 1997? ¿En 2012? ¿Qué predice el modelo para 2022?
  3. ¿Cuántos acres de hielo se perdieron en total de 2007 a 2012?
  4. ¿Cuál fue la tasa de cambio promedio de \(G\) de 2007 a 2012? Escribe una oración para explicar el significado de este número e incluye unidades en tu respuesta. Además, ¿cómo se compara esto con la tasa de cambio promedio de \(G\) de 2012 a 2017?
  5. ¿Cómo describirías el comportamiento general de \(G\text{,}\) y por lo tanto, qué está pasando con el glaciar Grinnell?

2.

Considera la función exponencial \(f\) cuyo gráfico se muestra en Figure 3.1.12. Nota que \(f\) pasa exactamente por los dos puntos indicados.
Figure 3.1.12. Un gráfico de la función exponencial \(f\text{.}\)
  1. Determina los valores de \(a\) y \(b\) exactamente.
  2. Determina la tasa de cambio promedio de \(f\) en los intervalos \([2,7]\) y \([7,12]\text{.}\) ¿Cuál tasa de cambio promedio es mayor?
  3. Encuentra la ecuación de la función lineal \(L\) que pasa por los puntos \((2,20)\) y \((7,5)\text{.}\)
  4. ¿Cuál tasa de cambio promedio es mayor? ¿La tasa de cambio promedio de \(f\) en \([0,2]\) o la tasa de cambio promedio de \(L\) en \([0,2]\text{?}\)

3.

Una taza de café caliente se lleva afuera en una fría mañana de invierno en Winnipeg, Manitoba, donde la temperatura ambiente es de \(0\) grados Fahrenheit. Una sonda de temperatura registra la temperatura del café (en grados Fahrenheit) cada minuto y genera los datos mostrados en Table 3.1.13.
Table 3.1.13. La temperatura, \(F\text{,}\) del café en el tiempo \(t\text{.}\)
\(t\) \(0\) \(2\) \(4\) \(6\) \(8\) \(10\)
\(F(t)\) \(175\) \(129.64\) \(96.04\) \(71.15\) \(52.71\) \(39.05\)
  1. Supón que los datos en la tabla representan la tendencia general del comportamiento de \(F\text{.}\) ¿Es \(F\) lineal, exponencial o ninguno? ¿Por qué?
  2. ¿Es posible determinar una fórmula exacta para \(F\text{?}\) Si es así, hazlo y justifica tu fórmula; si no, explica por qué no.
  3. ¿Cuál es la tasa de cambio promedio de \(F\) en \([4,6]\text{?}\) Escribe una oración que explique el significado práctico de este valor en el contexto del ejercicio general.
  4. ¿Cómo crees que aparecerían los datos si en lugar de estar en una taza de café regular, el café estuviera contenido en una taza aislada?

4.

La cantidad (en miligramos) de un medicamento en el cuerpo de una persona después de una dosis se da por una función de decaimiento exponencial. Deja que \(A(t)\) denote la cantidad de medicamento en el cuerpo en el tiempo \(t\) en horas después de que se tomó la dosis. Además, supón que sabes que \(A(3) = 22.7\) y \(A(6) = 15.2\text{.}\)
  1. Encuentra una fórmula para \(A\) en la forma \(A(t) = ab^t\text{,}\) donde determines los valores de \(a\) y \(b\) exactamente.
  2. ¿Cuál es el tamaño de la dosis inicial que se le dio a la persona?
  3. ¿Cuánto del medicamento permanece en el cuerpo de la persona \(8\) horas después de que se tomó la dosis?
  4. Estima cuánto tiempo tomará hasta que quede menos de \(1\) mg del medicamento en el cuerpo.
  5. Calcula la tasa de cambio promedio de \(A\) en los intervalos \([3,5]\text{,}\) \([5,7]\) y \([7,9]\text{.}\) Escribe al menos una oración cuidadosa para explicar el significado de los valores que encontraste, incluyendo unidades apropiadas. Luego escribe al menos una oración adicional para explicar cualquier tendencia general que observes en la tasa de cambio promedio.
  6. Grafica \(A(t)\) en un intervalo apropiado y etiqueta puntos y características importantes del gráfico para resaltar interpretaciones gráficas de tus respuestas en (b), (c), (d) y (e).
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