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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 1.1 Cambiando en Simultáneo

La matemática es el arte de dar sentido a los patrones. Una forma en que surgen los patrones es cuando dos cantidades cambian simultáneamente. En este contexto, podemos entender la situación expresando la relación entre las cantidades cambiantes a través de palabras, imágenes, datos o a través de una fórmula.

Preview Activity 1.1.1.

Supongamos que un acuario rectangular se está llenando con agua. El tanque mide \(4\) metros de largo por \(2\) metros de ancho por \(3\) metros de alto, y la manguera que está llenando el tanque está entregando agua a una velocidad de \(0.5\) metros cúbicos por minuto.
Figure 1.1.1. El acuario vacío
Figure 1.1.2. El acuario, parcialmente lleno.
  1. ¿Qué cantidades diferentes están cambiando en este escenario?
  2. Después de \(1\) minuto, ¿cuánta agua hay en el tanque? En este momento, ¿qué profundidad tiene el agua?
  3. ¿Cuánta agua hay en el tanque y qué profundidad tiene el agua después de \(2\) minutos? ¿Después de \(3\) minutos?
  4. ¿Cuánto tiempo tomará para que el tanque esté completamente lleno? ¿Por qué?

Subsection 1.1.1 Usando Gráficos para Representar Relaciones

En Preview Activity 1.1.1, vimos cómo varias cantidades cambiantes estaban relacionadas en el contexto de un acuario llenándose con agua: el tiempo, la profundidad del agua y la cantidad total de agua en el tanque están cambiando, y cualquier par de estas cantidades cambia de manera relacionada. Una forma de entender la situación es registrar algunos datos en una tabla. Por ejemplo, observando que el tanque se llena a un ritmo de \(0.5\) metros cúbicos por minuto, esto nos dice que después de \(1\) minuto habrá \(0.5\) metros cúbicos de agua en el tanque, y después de \(2\) minutos habrá \(1\) metro cúbico de agua en el tanque, y así sucesivamente. Si dejamos que \(t\) denote el tiempo en minutos y \(V\) la cantidad de agua en el tanque en el tiempo \(t\text{,}\) podemos representar la relación entre estas cantidades a través de la Tabla 1.1.3.
\(t\) \(V\)
\(0\) \(0.0\)
\(1\) \(0.5\)
\(2\) \(1.0\)
\(3\) \(1.5\)
\(4\) \(2.0\)
\(5\) \(2.5\)
Table 1.1.3. Datos sobre cómo cambia el volumen de agua en el tanque con el tiempo.
Figure 1.1.4. Una representación visual de los datos en laTabla 1.1.3.
También podemos representar estos datos en un gráfico trazando pares ordenados \((t,V)\) en un sistema de ejes de coordenadas, donde \(t\) representa la distancia horizontal del punto desde el origen, \((0,0)\text{,}\) y \(V\) representa la distancia vertical desde \((0,0)\text{.}\) La representación visual de la tabla de valores de Tabla 1.1.3 se muestra en el gráfico en Figura 1.1.4.
A veces es posible usar variables y una o más ecuaciones para conectar cantidades que están cambiando conjuntamente. En el ejemplo del acuario de la actividad previa, podemos observar que el volumen, \(V\text{,}\) de una caja rectangular que tiene una longitud \(l\text{,}\) un ancho \(w\) y una altura \(h\) se da por
\begin{equation*} V = l \cdot w \cdot h\text{,} \end{equation*}
y así, dado que el agua en el tanque siempre tendrá una longitud \(l = 4\) pies y un ancho \(w = 2\) pies, el volumen de agua en el tanque está directamente relacionado con la profundidad del agua en el tanque por la ecuación
\begin{equation*} V = 4 \cdot 2 \cdot h = 8h\text{.} \end{equation*}
Dependiendo de qué variable resolvamos, podemos ver cómo \(V\) depende de \(h\) a través de la ecuación \(V = 8h\text{,}\) o cómo \(h\) depende de \(V\) mediante la ecuación \(h = \frac{1}{8}V\text{.}\) Desde cualquiera de las dos perspectivas, observamos que a medida que la profundidad o el volumen aumentan, el volumen o la profundidad deben aumentar correspondientemente.

Activity 1.1.2.

Considera un tanque en forma de cono circular invertido (con la punta hacia abajo) donde el radio del tanque es de \(2\) pies y su profundidad es de \(4\) pies. Supón que el tanque se está llenando con agua que entra a una tasa constante de \(0.75\) pies cúbicos por minuto.
  1. Dibuja un esquema etiquetado del tanque, incluyendo una imagen del tanque con agua antes de que esté completamente lleno.
  2. ¿Cuáles son algunas de las cantidades que están cambiando en este escenario? ¿Cuáles son algunas de las cantidades que no están cambiando?
  3. Llena la siguiente tabla de valores para determinar cuánta agua, \(V\text{,}\) hay en el tanque en un tiempo dado en minutos, \(t\text{,}\) y así generar un gráfico de la relación entre volumen y tiempo trazando los datos en los ejes proporcionados.
    \(t\) \(V\)
    \(0\) \(\)
    \(1\) \(\)
    \(2\) \(\)
    \(3\) \(\)
    \(4\) \(\)
    \(5\) \(\)
    Table 1.1.5. Tabla para registrar datos sobre volumen y tiempo en el tanque cónico.
    Figure 1.1.6. Cómo cambian conjuntamente el volumen y el tiempo en el tanque cónico.
  4. Finalmente, piensa en cómo la altura, \(h\text{,}\) del agua cambia conjuntamente con el tiempo. Sin intentar determinar valores específicos de \(h\) en valores particulares de \(t\text{,}\) ¿cómo esperarías que aparecieran los datos de la relación entre \(h\) y \(t\text{?}\) Usa los ejes proporcionados para esbozar al menos dos posibilidades; escribe al menos una oración para explicar cómo crees que debería aparecer el gráfico.

Subsection 1.1.2 Usando el Álgebra para Agregar Perspectiva

Una de las formas en que entendemos las ideas matemáticas es viéndolas desde múltiples perspectivas. Podemos usar diferentes medios para establecer diferentes puntos de vista: palabras, datos numéricos, gráficos o símbolos. Además, a veces al cambiar nuestra perspectiva dentro de un enfoque particular, obtenemos una comprensión más profunda.
Figure 1.1.7. El tanque cónico vacío.
Figure 1.1.8. El tanque cónico, parcialmente lleno.
Si consideramos el tanque cónico discutido en Activity 1.1.2, como se ve en Figure 1.1.7 y Figure 1.1.8, podemos usar el álgebra para comprender mejor algunas de las relaciones entre las cantidades que cambian. El volumen de un cono con radio \(r\) y altura \(h\) se da por la fórmula
\begin{equation*} V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\text{.} \end{equation*}
Nota que en cualquier momento mientras se llena el tanque, \(r\) (el radio de la superficie del agua), \(h\) (la profundidad del agua) y \(V\) (el volumen del agua) están cambiando; además, todos están conectados entre sí. Debido a las restricciones del propio tanque (con un radio de \(2\) pies y una profundidad de \(4\) pies), se sigue que a medida que el radio y la altura del agua cambian, siempre lo hacen en la proporción
\begin{equation*} \frac{r}{h} = \frac{2}{4}\text{.} \end{equation*}
Resolviendo esta última ecuación para \(r\text{,}\) vemos que \(r = \frac{1}{2}h\text{;}\) sustituyendo este resultado más reciente en la ecuación del volumen, se sigue que
\begin{equation*} V = \frac{1}{3}\pi \left( \frac{1}{2}h \right)^2 h = \frac{\pi}{12} h^3\text{.} \end{equation*}
Esta ecuación más reciente nos ayuda a entender cómo \(V\) y \(h\) cambian conjuntamente. Sabemos por nuestro trabajo anterior que el volumen de agua en el tanque aumenta a una tasa constante de \(0.75\) pies cúbicos por minuto. Esto conduce a los datos mostrados en Table 1.1.9.
Table 1.1.9. Cómo cambian conjuntamente el tiempo y el volumen en un tanque cónico.
\(t\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(V\) \(0.0\) \(0.75\) \(1.5\) \(2.25\) \(3.0\) \(3.75\)
Con la ecuación \(V = \frac{\pi}{12} h^3\text{,}\) ahora también podemos ver cómo la altura del agua cambia conjuntamente con el tiempo. Resolviendo la ecuación para \(h\text{,}\) notamos que \(h^3 = \frac{12}{\pi} V\text{,}\) y por lo tanto
\begin{equation} h = \sqrt[3]{\frac{12}{\pi} V}\text{.}\tag{1.1.1} \end{equation}
Así, cuando \(V = 0.75\text{,}\) se sigue que \(h = \sqrt[3]{\frac{12}{\pi} 0.75} \approx 1.42\text{.}\) Ejecutando cálculos similares con los otros valores de \(V\) en Table 1.1.9, obtenemos los siguientes datos actualizados que ahora incluyen \(h\text{.}\)
Table 1.1.10. Cómo cambian conjuntamente el tiempo, el volumen y la altura en un tanque cónico.
\(t\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\)
\(V\) \(0.0\) \(0.75\) \(1.5\) \(2.25\) \(3.0\) \(3.75\)
\(h\) \(0.0\) \(1.42\) \(1.79\) \(2.05\) \(2.25\) \(2.43\)
Al graficar estos datos en dos conjuntos de ejes diferentes, vemos las distintas formas en que \(V\) y \(h\) cambian con \(t\text{.}\) Mientras que el volumen aumenta a una tasa constante, como se puede ver en la apariencia de línea recta de los puntos en Figure 1.1.11, observamos que la altura del agua aumenta de manera que se eleva más lentamente a medida que pasa el tiempo, como se muestra en la forma en que la curva en la que se encuentran los puntos en Figure 1.1.12 “se inclina hacia abajo” a medida que pasa el tiempo.
Figure 1.1.11. Graficando \(V\) versus \(t\text{.}\)
Figure 1.1.12. Graficando \(h\) versus \(t\text{.}\)
Estos comportamientos diferentes tienen sentido debido a la forma del tanque. Dado que al principio hay menos volumen en relación con la profundidad cerca de la punta del cono, a medida que el agua fluye a una tasa constante, la altura del agua aumentará rápidamente. Pero a medida que pasa el tiempo y se añade más agua a la misma tasa, hay más espacio para que el agua llene para que el nivel del agua suba, y por lo tanto, la altura del agua sube cada vez más lentamente a medida que pasa el tiempo.

Activity 1.1.3.

Considera un tanque en forma de esfera donde el radio del tanque es de \(3\) pies. Supón que el tanque está inicialmente completamente lleno y que se está vaciando mediante una bomba a una tasa constante de \(1.2\) pies cúbicos por minuto.
  1. Dibuja un esquema etiquetado del tanque, incluyendo una imagen del tanque con algo de agua antes de que esté completamente vacío.
  2. ¿Cuáles son algunas de las cantidades que están cambiando en este escenario? ¿Cuáles son algunas de las cantidades que no están cambiando?
  3. Recuerda que el volumen de una esfera de radio \(r\) es \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\text{.}\) Cuando el tanque está completamente lleno en el momento \(t = 0\text{,}\) justo antes de empezar a vaciarse, ¿cuánta agua hay presente?
  4. ¿Cuánto tiempo tomará para que el tanque se vacíe completamente?
  5. Complete la siguiente tabla de valores para determinar cuánta agua, \(V\text{,}\) hay en el tanque en un momento dado en minutos, \(t\text{,}\) y así generar un gráfico de la relación entre el volumen y el tiempo. Escribe una oración para explicar por qué el gráfico de los datos aparece de la manera en que lo hace.
    \(t\) \(V\)
    \(0\)
    \(20\)
    \(40\)
    \(60\)
    \(80\)
    \(94.24\)
    Table 1.1.13. Datos sobre cómo cambian juntos el volumen y el tiempo.
    Figure 1.1.14. Un gráfico de cómo cambian el volumen y el tiempo en conjunto en un tanque esférico que se está drenando.
  6. Finalmente, piensa en cómo cambia la altura del agua junto con el tiempo. ¿Cuál es la altura del agua cuando \(t = 0\text{?}\) ¿Cuál es la altura cuando el tanque está vacío? ¿Cómo esperarías que aparezcan los datos de la relación entre \(h\) y \(t\text{?}\) Utiliza los ejes proporcionados para esbozar al menos dos posibilidades; escribe al menos una oración para explicar cómo crees que debería aparecer el gráfico.

Subsection 1.1.3 Resumen

  • Cuando dos cantidades relacionadas están cambiando conjuntamente, podemos entender mejor cómo el cambio en una afecta a la otra utilizando datos, gráficos, palabras o símbolos algebraicos para expresar la relación entre ellas. Ver, por ejemplo, Tabla 1.1.9, Figura 1.1.11, 1.1.12, y Ecuación (1.1.1) que juntas ayudan a explicar cómo la altura y el volumen de agua en un tanque cónico cambian conjuntamente a medida que cambia el tiempo.
  • Cuando la cantidad de agua en un tanque está cambiando, podemos observar otras cantidades que cambian, dependiendo de la forma del tanque. Por ejemplo, si el tanque es cónico, podemos considerar tanto la altura cambiante del agua como el radio cambiante de la superficie del agua. Además, siempre que pensamos en una cantidad que está cambiando con el paso del tiempo, notamos que el tiempo mismo está cambiando.

Exercises 1.1.4 Exercises

1.

The graph below shows the fuel consumption (in miles per gallon, mpg) of a car driving at various speeds (in miles per hour, mph).
(click on image to enlarge)
(a) How much gas is used on a 400 mile trip at 80 mph?
amount of gas = gallons
(b) How much gas is saved by traveling 60 mph instead of 70 mph on a 600 mile trip?
saved gas = gallons
(c) According to this graph, what is the most fuel efficient speed to travel?
most fuel efficient speed = mph

2.

Supón que tenemos un tanque inusual cuya base es una esfera perfecta con un radio de \(3\) pies, y luego sobre la base esférica hay una “chimenea” cilíndrica que es un cilindro circular de radio \(1\) pie y altura \(2\) pies, como se muestra en Figure 1.1.15. El tanque está inicialmente vacío, pero luego se abre un grifo que bombea agua al tanque a una tasa constante de \(1.25\) pies cúbicos por minuto.
Figure 1.1.15. Un tanque esférico con una chimenea cilíndrica.
Sea \(V\) el volumen total de agua (en pies cúbicos) en el tanque en cualquier momento \(t\) (en minutos), y \(h\) la profundidad del agua (en pies) en el momento \(t\text{.}\)
  1. Es posible usar cálculo para mostrar que el volumen total que este tanque puede contener es \(V_{\text{full}} = \pi(20 + \frac{38}{3}\sqrt{2}) \approx 119.11\) pies cúbicos. Además, la altura real del tanque (desde el fondo de la base esférica hasta la parte superior de la chimenea) es \(h_{\text{full}} = \sqrt{8} + 5 \approx 7.83\) pies. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el tanque? ¿Por qué?
  2. En los ejes en blanco proporcionados a continuación, dibuja (a mano) posibles gráficos de cómo \(V\) y \(t\) cambian en conjunto y cómo \(h\) y \(t\) cambian en conjunto.
    Para cada gráfico, etiqueta cualquier par ordenado en el gráfico que sepas con certeza, y escribe al menos una oración que explique por qué tus gráficos tienen la forma que tienen.
  3. ¿Cómo cambiarían tus gráficos (si es que cambian) si la chimenea tuviera forma de cono invertido en lugar de un cilindro? Explica y discute.

3.

Supón que tenemos un tanque que es una esfera perfecta con un radio de \(6\) pies. El tanque está inicialmente vacío, pero luego se abre un grifo que bombea agua al tanque de una manera muy especial: el grifo está regulado para que la profundidad del agua en el tanque aumente a una tasa constante de \(0.4\) pies por minuto.
Sea \(V\) el volumen total de agua (en pies cúbicos) en el tanque en cualquier momento \(t\) (en minutos), y \(h\) la profundidad del agua (en pies) en el momento \(t\text{.}\)
  1. ¿Cuánto tiempo tarda en llenarse el tanque? ¿Cuáles serán los valores de \(V\) y \(h\) en el momento en que el tanque esté lleno? ¿Por qué?
  2. En los ejes en blanco proporcionados a continuación, dibuja (a mano) posibles gráficos de cómo \(V\) y \(t\) cambian en conjunto y cómo \(h\) y \(t\) cambian en conjunto.
    Para cada gráfico, etiqueta cualquier par ordenado en el gráfico que sepas con certeza, y escribe al menos una oración que explique por qué tus gráficos tienen la forma que tienen.
  3. ¿Cómo cambian tus respuestas si el tanque permanece igual pero en lugar de eso el tanque está inicialmente lleno y se vacía de tal manera que la altura del agua siempre disminuye a una tasa constante de \(0.25\) pies por minuto?

4.

La relación entre la posición, \(s\text{,}\) de un coche que conduce en una carretera recta en el tiempo \(t\) está dada por el gráfico mostrado a la izquierda en Figure 1.1.16. La posición del coche
 1 
Puedes pensar en la posición del coche como los marcadores de millas en una autopista. Decir que \(s = 500\) significa que el coche está ubicado a \(500\) pies del “marcador cero” en la carretera.
tiene unidades medidas en miles de pies mientras que el tiempo se mide en minutos. Por ejemplo, el punto \((4,6)\) en el gráfico indica que después de \(4\) minutos, el coche ha recorrido \(6000\) pies desde su ubicación inicial.
  1. Escribe varias oraciones que expliquen cómo se está conduciendo el coche y cómo llegas a estas conclusiones a partir del gráfico.
  2. ¿Cuánto recorrió el coche entre \(t = 2\) y \(t = 10\text{?}\)
  3. ¿El coche alguna vez viaja en reversa? ¿Por qué o por qué no? Si no, ¿cómo tendría que verse el gráfico para indicar tal movimiento?
  4. En los ejes en blanco en Figure 1.1.16, traza puntos o dibuja una curva para describir el comportamiento de un coche que se conduce de la siguiente manera: desde \(t = 0\) hasta \(t = 5\) el coche viaja recto por la carretera a una tasa constante de \(1000\) pies por minuto. A \(t = 5\text{,}\) el coche se detiene y se estaciona durante \(2\) minutos completos. Luego, a \(t = 7\text{,}\) el coche hace un giro en U abrupto y regresa en la dirección opuesta a una tasa constante de \(800\) pies por minuto durante \(5\) minutos adicionales. Como parte de tu trabajo, determina (y etiqueta) la ubicación del coche en varios puntos adicionales en el tiempo además de \(t = 0, 5, 7, 12\text{.}\)
    Figure 1.1.16. Un gráfico de la relación entre la posición de un coche \(s\) y el tiempo \(t\)
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