Motivating Questions
- ¿Cómo podemos crear nuevas funciones sumando, restando, multiplicando o dividiendo funciones dadas?
- ¿Qué son las funciones por partes y cuáles son las diferentes formas en que podemos representarlas?
Section 1.9 Combinando Funciones
En aritmética, ejecutamos procesos donde tomamos dos números para generar un nuevo número. Por ejemplo, \(2 + 3 = 5\text{:}\) el número \(5\) resulta de sumar \(2\) y \(3\text{.}\) De manera similar, podemos multiplicar dos números para generar uno nuevo: \(2 \cdot 3 = 6\text{.}\)
Podemos trabajar de manera similar con funciones. De hecho, ya hemos visto una forma sofisticada de combinar dos funciones para generar una nueva función relacionada a través de la composición. Si \(g : A \to B\) y \(f : B \to C\text{,}\) entonces sabemos que hay una nueva función relacionada \(f \circ g : A \to C\) definida por el proceso \((f \circ g)(x) = f(g(x))\text{.}\) Dicho de otra manera, la nueva función \(f \circ g\) resulta de ejecutar \(g\) primero, seguido de \(f\text{.}\)
Así como podemos sumar, restar, multiplicar y dividir números, también podemos sumar, restar, multiplicar y dividir funciones para crear una nueva función a partir de dos o más funciones dadas.
Preview Activity 1.9.1.
Considera las funciones \(f\) y \(g\) definidas por Table 1.9.1 y las funciones lineales por partes \(p\) y \(q\) definidas por Figure 1.9.2. Supón que las líneas en la figura pasan por coordenadas de números enteros donde parece que lo hacen; por ejemplo, \((2,2)\) está en el gráfico de \(q\text{,}\) y \((3,-3)\) está en el gráfico de \(p\text{.}\)
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| \(f(x)\) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |
| \(g(x)\) | 9 | 5 | 3 | 2 | 3 |
- Sea \(h(x) = f(x) + g(x)\text{.}\) Determina \(h(3)\text{.}\)
- Sea \(r(x) = p(x) - q(x)\text{.}\) Determina \(r(-1)\) exactamente.
- ¿Hay algún valor de \(x\) para el cual \(r(x) = 0\text{?}\) Si no, explica por qué; si es así, determina todos esos valores, con justificación.
- Sea \(k(x) = f(x) \cdot g(x)\text{.}\) Determina \(k(0)\text{.}\)
- Sea \(s(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\text{.}\) Determina \(s(1)\) exactamente.
- ¿Hay algún valor de \(x\) en el intervalo \(-4 \le x \le 4\) para el cual \(s(x)\) no esté definido? Si no, explica por qué; si es así, determina todos esos valores, con justificación.
Subsection 1.9.1 Aritmética con funciones
En la mayoría de las matemáticas hasta el cálculo, el objeto principal que estudiamos son los números. Hacemos preguntas como
- “¿qué número(s) forman soluciones a la ecuación \(x^2 - 4x - 5 = 0\text{?}\)”
- “¿qué número es la pendiente de la línea \(3x - 4y = 7\text{?}\)”
- “¿qué número se genera como salida por la función \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\) con la entrada \(x = -2\text{?}\)”
Ciertamente también estudiamos patrones generales como se ven en funciones y ecuaciones, pero esto usualmente ocurre a través de un examen de los números mismos, y pensamos en los números como los objetos principales sobre los que se actúa.
Esto cambia en el cálculo. En el cálculo, los objetos fundamentales que se estudian son las funciones mismas. Una función es un objeto matemático mucho más sofisticado que un número, en parte porque una función puede pensarse en términos de su gráfica, que es una colección infinita de pares ordenados de la forma \((x,f(x))\text{.}\)
A menudo es útil mirar la fórmula de una función y observar la estructura algebraica. Por ejemplo, dada la función cuadrática
\begin{equation*}
q(x) = -3x^2 + 5x - 7
\end{equation*}
podríamos beneficiarnos de pensar en esto como la suma de tres funciones más simples: la función constante \(c(x) = -7\text{,}\) la función lineal \(s(x) = 5x\) que pasa por \((0,0)\) con pendiente \(m = 5\text{,}\) y la función cuadrática básica cóncava hacia abajo \(w(x) = -3x^2\text{.}\) De hecho, cada una de las funciones más simples \(c\text{,}\) \(s\text{,}\) y \(w\) contribuyen a hacer que \(q\) sea la función que es. De igual manera, si estuviéramos interesados en la función \(p(x) = (3x^2 + 4)(9 - 2x^2)\text{,}\) podría ser natural pensar en las dos funciones más simples \(f(x) = 3x^2 + 4\) y \(g(x) = 9 - 2x^2\) que se están multiplicando para producir \(p\text{.}\)
Así llegamos naturalmente a las ideas de sumar, restar, multiplicar o dividir dos o más funciones, y por lo tanto introducimos las siguientes definiciones y notación.
Definition 1.9.3.
Sean \(f\) y \(g\) funciones que comparten el mismo dominio. Entonces,
- La suma de \(f\) y \(g\) es la función \(f + g\) definida por \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\text{.}\)
- La diferencia de \(f\) y \(g\) es la función \(f - g\) definida por \((f-g)(x) = f(x) - g(x)\text{.}\)
- El producto de \(f\) y \(g\) es la función \(f \cdot g\) definida por \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\text{.}\)
- El cociente de \(f\) y \(g\) es la función \(\frac{f}{g}\) definida por \(\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\) para todo \(x\) tal que \(g(x) \ne 0\text{.}\)
Activity 1.9.2.
Considera las funciones \(f\) y \(g\) definidas por Figure 1.9.4 y Figure 1.9.5. Supón que las líneas y curvas dadas pasan por puntos de intersección en la cuadrícula cuando parece plausible. Por ejemplo, \((0,2.5)\) y \((3,-0.5)\) están en el gráfico de \(f\text{,}\) y \((-1,3)\) y \((1.5, 1.5)\) están en el gráfico de \(g\text{.}\)
- Determina el valor exacto de \((f+g)(0)\text{.}\)
- Determina el valor exacto de \((g-f)(1)\text{.}\)
- Determina el valor exacto de \((f \cdot g)(-1)\text{.}\)
- ¿Hay algún valor de \(x\) para el cual \(\left( \frac{f}{g} \right)(x)\) no esté definido? Si no, explica por qué. Si es así, determina los valores y justifica tu respuesta.
- ¿Para qué valores de \(x\) es \((f \cdot g)(x) = 0\text{?}\) ¿Por qué?
- ¿Hay algún valor de \(x\) para el cual \((f-g)(x) = 0\text{?}\) ¿Por qué o por qué no?
Subsection 1.9.2 Combinando funciones en contexto
Cuando trabajamos en entornos aplicados con funciones que modelan fenómenos en el mundo que nos rodea, a menudo es útil pensar cuidadosamente sobre las unidades de varias cantidades. Analizar las unidades puede ayudarnos tanto a entender la estructura algebraica de las funciones y las variables involucradas, como a asignar significado a las cantidades que calculamos. Ya hemos visto esto con la noción de tasa de cambio promedio: si una función \(P(t)\) mide la población en una ciudad en el año \(t\) y calculamos \(AV_{[5, 11]}\text{,}\) entonces las unidades en \(AV_{[5, 11]}\) son “personas por año,” y el valor de \(AV_{[5, 11]}\) nos está diciendo la tasa promedio a la que cambia la población en personas por año en el intervalo de tiempo desde el año \(5\) hasta el año \(11\text{.}\)
Example 1.9.6.
Supón que un inversor está comprando regularmente acciones en una empresa en particular. Sea \(N(t)\) el número de acciones poseídas en el día \(t\text{,}\) donde \(t = 0\) representa el primer día en que se compraron acciones. Sea \(S(t)\) el valor de una acción de la empresa en el día \(t\text{;}\) nota que las unidades en \(S(t)\) son dólares por acción. ¿Cómo se determina el valor total, \(V(t)\text{,}\) de las acciones poseídas en el día \(t\text{?}\)
1
Este ejemplo está tomado de Section 2.3 de Active Calculus.
Solución. Observa que las unidades en \(N(t)\) son “acciones” y las unidades en \(S(t)\) son “dólares por acción”. Así que cuando calculamos el producto
\begin{equation*}
N(t) \, \text{acciones} \cdot S(t) \, \text{dólares por acción}\text{,}
\end{equation*}
se sigue que las unidades resultantes son “dólares”, que es el valor total de las acciones poseídas. Por lo tanto,
\begin{equation*}
V(t) = N(t) \cdot S(t)\text{.}
\end{equation*}
Activity 1.9.3.
Sea \(f\) una función que mide la economía de combustible de un coche de la siguiente manera. Dada una velocidad de entrada \(v\) en millas por hora, \(f(v)\) es el número de galones de combustible que el coche consume por milla (es decir, “galones por milla”). Sabemos que \(f(60) = 0.04\text{.}\)
- ¿Cuál es el significado de la afirmación “\(f(60) = 0.04\)” en el contexto del problema? Es decir, ¿qué dice esto sobre la economía de combustible del coche? Escribe una oración completa para explicar.
- Considera la función \(g(v) = \frac{1}{f(v)}\text{.}\) ¿Cuál es el valor de \(g(60)\text{?}\) ¿Cuáles son las unidades de \(g\text{?}\) ¿Qué mide \(g\text{?}\)
- Considera la función \(h(v) = v \cdot f(v)\text{.}\) ¿Cuál es el valor de \(h(60)\text{?}\) ¿Cuáles son las unidades de \(h\text{?}\) ¿Qué mide \(h\text{?}\)
- ¿Nos dicen \(f(60)\text{,}\) \(g(60)\) y \(h(60)\) información fundamentalmente diferente, o esencialmente están diciendo lo mismo? Explica.
- Supón que también sabemos que \(f(70) = 0.045\text{.}\) Encuentra la tasa de cambio promedio de \(f\) en el intervalo \([60,70]\text{.}\) ¿Cuáles son las unidades de la tasa de cambio promedio de \(f\text{?}\) ¿Qué mide esta cantidad? Escribe una oración completa para explicar.
Subsection 1.9.3 Funciones por tramos
En contextos tanto abstractos como aplicados, a veces tenemos que usar diferentes fórmulas en diferentes intervalos para definir una función de interés.
Una función familiar e importante que se define por tramos es la función valor absoluto: \(A(x) = |x|\text{.}\) Sabemos que si \(x \ge 0\text{,}\) \(|x| = x\text{,}\) mientras que si \(x \lt 0\text{,}\) \(|x| = -x\text{.}\)
Definition 1.9.7.
El valor absoluto de un número real, denotado por \(A(x) = |x|\text{,}\) se define por la regla
\begin{equation*}
A(x) =
\begin{cases}
-x, \amp x \lt 0 \\
x, \amp x \ge 0
\end{cases}
\end{equation*}
La función valor absoluto es un ejemplo de una función definida por tramos. La notación de “corchete” en Definición 1.9.7 es cómo expresamos qué tramo de la función se aplica en qué intervalo. Como podemos ver en Figura 1.9.8, para valores de \(x\) menores que \(0\text{,}\) se aplica la función \(y = -x\text{,}\) mientras que para \(x\) mayores o iguales a \(0\text{,}\) la regla está determinada por \(y = x\text{.}\)
Mientras tengamos cuidado de asegurarnos de que cada entrada potencial tenga una y solo una salida correspondiente, podemos definir una función por tramos usando tantas funciones diferentes en diferentes intervalos como deseemos.
Activity 1.9.4.
En lo que sigue, trabajamos para entender dos funciones por tramos diferentes completamente a mano basándonos en propiedades familiares de funciones lineales y cuadráticas.
- Considera la función \(p\) definida por la siguiente regla:\begin{equation*} p(x) = \begin{cases} -(x+2)^2 + 2, \amp x \lt 0 \\ \frac{1}{2}(x-2)^2 + 1, \amp x \ge 0 \end{cases} \end{equation*}¿Cuáles son los valores de \(p(-4)\text{,}\) \(p(-2)\text{,}\) \(p(0)\text{,}\) \(p(2)\text{,}\) y \(p(4)\text{?}\)
- ¿Qué punto es el vértice de la parte cuadrática de \(p\) que es válida para \(x \lt 0\text{?}\) ¿Qué punto es el vértice de la parte cuadrática de \(p\) que es válida para \(x \ge 0\text{?}\)
- ¿Para qué valores de \(x\) es \(p(x) = 0\text{?}\) Además, ¿cuál es la intersección con el eje \(y\) de \(p\text{?}\)
-
Dibuja un gráfico preciso y etiquetado de \(y = p(x)\) en los ejes proporcionados en Figura 1.9.9.
Figure 1.9.9. Ejes para graficar \(y = p(x)\text{.}\) Figure 1.9.10. Gráfico de \(y = f(x)\text{.}\) - Para la función \(f\) definida por Figura 1.9.10, determina una fórmula definida por tramos para \(f\) que esté expresada en notación de corchetes similar a la definición de \(y = p(x)\) anterior.
Subsection 1.9.4 Resumen
- Así como podemos generar un nuevo número sumando, restando, multiplicando o dividiendo dos números dados, podemos generar una nueva función sumando, restando, multiplicando o dividiendo dos funciones dadas. Por ejemplo, si conocemos fórmulas, gráficos o tablas para las funciones \(f\) y \(g\) que comparten el mismo dominio, podemos crear su producto \(p\) según la regla \(p(x) = (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\text{.}\)
- Una función por tramos es una función cuya fórmula consiste en al menos dos fórmulas diferentes de tal manera que cuál fórmula se aplica depende de dónde cae la entrada en el dominio. Por ejemplo, dadas dos funciones \(f\) y \(g\) cada una definida en todos los números reales, podemos definir una nueva función por tramos \(P\) según la regla\begin{equation*} P(x) = \begin{cases} f(x), \amp x \lt a \\ g(x), \amp x \ge a \end{cases} \end{equation*}Esto nos dice que para cualquier \(x\) a la izquierda de \(a\text{,}\) usamos la regla para \(f\text{,}\) mientras que para cualquier \(x\) a la derecha de o igual a \(a\text{,}\) usamos la regla para \(g\text{.}\) Podemos usar tantas funciones diferentes como queramos en diferentes intervalos, siempre que los intervalos no se superpongan.
Exercises 1.9.5 Exercises
1.
Sea \(r(t) = 2t - 3\) y \(s(t) = 5 - 3t\text{.}\) Determina una fórmula para cada una de las siguientes nuevas funciones y simplifica tu resultado tanto como sea posible.
- \(\displaystyle f(t) = (r+s)(t)\)
- \(\displaystyle g(t) = (\frac{s}{r})(t)\)
- \(\displaystyle h(t) = (r \cdot s)(t)\)
- \(\displaystyle q(t) = (s \circ r)(t)\)
- \(\displaystyle w(t) = r(t-4) + 7\)
2.
Considera las funciones \(s\) y \(g\) definidas por los gráficos en Figura 1.9.11 y Figura 1.9.12. Supón que a la izquierda y derecha de los dominios mostrados, cada función continúa comportándose según las tendencias vistas en las figuras.
- Determina una fórmula por partes para la función \(y = s(t)\) que sea válida para todos los números reales \(t\text{.}\)
- Determina una fórmula por partes para la función \(y = g(x)\) que sea válida para todos los números reales \(x\text{.}\)
-
Determina cada una de las siguientes cantidades o explica por qué no están definidas.
- \(\displaystyle (s \cdot g)(1)\)
- \(\displaystyle (g-s)(3)\)
- \(\displaystyle (s \circ g)(1.5)\)
- \(\displaystyle (g \circ s)(-4)\)
3.
Uno de los principios más importantes en el estudio de las cantidades cambiantes se encuentra en la relación entre distancia, velocidad promedio y tiempo. Para un cuerpo en movimiento que viaja en una trayectoria recta a una velocidad promedio de \(v\) durante un período de tiempo \(t\text{,}\) la distancia recorrida, \(d\text{,}\) se da por
\begin{equation*}
d = v \cdot t
\end{equation*}
En el Ironman Triathlon, los competidores nadan \(2.4\) millas, andan en bicicleta \(112\) millas, y luego corren un maratón de \(26.2\) millas. En la siguiente secuencia de preguntas, construimos una función por partes que modela la ubicación de un competidor en la carrera en un momento dado \(t\text{.}\) Para empezar, tenemos la siguiente información conocida.
- Ella nada a una velocidad promedio de \(2.5\) millas por hora durante las \(2.4\) millas en el agua.
- Su transición de nadar a andar en bicicleta toma \(3\) minutos (\(0.05\) horas), durante los cuales no recorre ninguna distancia adicional.
- Ella anda en bicicleta a una velocidad promedio de \(21\) millas por hora durante las \(112\) millas de ciclismo.
- Su transición de andar en bicicleta a correr toma poco más de \(2\) minutos (\(0.03\) horas), durante los cuales no recorre ninguna distancia adicional.
- Ella corre a una velocidad promedio de \(8.5\) millas por hora durante el maratón.
- En las preguntas que siguen, supón para los propósitos del modelo que la triatleta nada, anda en bicicleta, y corre a velocidades esencialmente constantes (dadas por las velocidades promedio indicadas anteriormente).
- Determina el tiempo en que la nadadora sale del agua. Reporta tu resultado en horas.
- Asimismo, determina el tiempo en que la atleta se baja de su bicicleta, así como el tiempo en que termina la carrera.
- Enumera 5 puntos clave en la forma (tiempo, distancia): al salir del agua, al comenzar a andar en bicicleta, al terminar de andar en bicicleta, al comenzar a correr, y al terminar de correr.
- ¿Cuál es la velocidad promedio de la triatleta durante toda la carrera? ¿Es esta velocidad el promedio de su velocidad al nadar, andar en bicicleta y correr? ¿Por qué o por qué no?
- Determina una función por partes \(s(t)\) cuyo valor en cualquier momento (en horas) sea la distancia total recorrida por la triatleta.
-
Dibuja un gráfico cuidadosamente etiquetado de la distancia recorrida por la triatleta en función del tiempo en los ejes proporcionados. Proporciona una escala clara y señala puntos clave en el gráfico.
- Dibuja un posible gráfico de la velocidad de la triatleta, \(V\text{,}\) en función del tiempo en los ejes de la derecha. Aquí también, etiqueta puntos clave y proporciona una escala clara. Escribe varias oraciones para explicar y justificar tu gráfico.
