Preludio Activo al Cálculo

El fenómeno natural de un punto moviéndose alrededor de un círculo lleva a relaciones interesantes. Para facilitar la aritmética, consideremos un punto que recorre un círculo de circunferencia \(24\) y examinemos cómo cambia la altura del punto, \(h\text{,}\) a medida que cambia la distancia recorrida, \(d\text{.}\) Nota particularmente que cada vez que el punto recorre \(\frac{1}{8}\) de la circunferencia del círculo, viaja una distancia de \(24 \cdot \frac{1}{8} = 3\) unidades, como se ve en Figura 2.1.2 donde cada punto señalado se encuentra \(3\) unidades adicionales a lo largo del círculo más allá del anterior.

Nota que conocemos las alturas exactas de ciertos puntos. Dado que el círculo tiene una circunferencia \(C = 24\text{,}\) sabemos que \(24 = 2\pi r\) y por lo tanto \(r = \frac{12}{\pi} \approx 3.82\text{.}\) Por lo tanto, el punto donde \(d = 6\) (ubicado a \(1/4\) del camino a lo largo del círculo) está a una altura de \(h = \frac{12}{\pi} \approx 3.82\text{.}\) Duplicando este valor, el punto donde \(d = 12\) tiene una altura de \(h = \frac{24}{\pi} \approx 7.64\text{.}\) Otras alturas, como las que corresponden a \(d = 3\) y \(d = 15\) (identificadas en la figura por los segmentos de línea verde) no son obvias a partir del radio del círculo, pero se pueden estimar a partir de la cuadrícula en Figura 2.1.2 como \(h \approx 1.1\) (para \(d = 3\)) y \(h \approx 6.5\) (para \(d = 15\)). Usando todas estas observaciones junto con la simetría del círculo, podemos determinar las otras entradas en Tabla 2.1.3.

Además, si ahora dejamos que el punto continúe recorriendo el círculo, observamos que los valores de \(d\) aumentarán en consecuencia, pero los valores de \(h\) se repetirán según el patrón ya establecido, resultando en los datos en Tabla 2.1.4.

Es evidente que cada punto en el círculo corresponde a una y solo una altura, y por lo tanto podemos ver la altura de un punto como una función de la distancia que el punto ha recorrido alrededor del círculo, digamos \(h = f(d)\text{.}\) Usando los datos de las dos tablas y conectando los puntos de una manera intuitiva, obtenemos el gráfico mostrado en Figura 2.1.5.

Cada función circular tiene varias características importantes que están conectadas al círculo que define la función. Para la discusión que sigue, nos enfocamos en funciones circulares que resultan de rastrear la coordenada \(y\) de un punto que recorre en sentido antihorario un círculo de radio \(a\) centrado en el punto \((k,m)\text{.}\) Además, denotaremos la circunferencia del círculo con la letra \(p\text{.}\)

Suponemos que el punto que recorre el círculo comienza en \(P\) en Figura 2.1.9. Su altura es inicialmente \(y = m + a\text{,}\) y luego su altura disminuye a \(y = m\) mientras recorremos hasta \(Q\text{.}\) Continuando, la altura del punto cae a \(y = m - a\) en \(R\text{,}\) y luego sube de nuevo a \(y = m\) en \(S\text{,}\) y eventualmente vuelve a subir a \(y = m+a\) en la parte superior del círculo. Si graficamos estas alturas continuamente como una función de la distancia, \(d\text{,}\) recorrida alrededor del círculo, obtenemos la curva mostrada a la derecha en Figura 2.1.10. Esta curva tiene varias características importantes para las cuales introducimos terminología importante.

La línea media de una función circular es la línea horizontal \(y = m\) para la cual la mitad de la curva se encuentra por encima de la línea y la otra mitad por debajo. Si la función circular resulta de rastrear la coordenada \(y\) de un punto que recorre un círculo, \(y = m\) corresponde a la coordenada \(y\) del centro del círculo. Además, la amplitud de una función circular es la desviación máxima de la curva desde la línea media. Nota particularmente que el valor de la amplitud, \(a\text{,}\) corresponde al radio del círculo que genera la curva.

Como podemos recorrer el círculo en cualquier dirección y tanto como queramos, el dominio de cualquier función circular es el conjunto de todos los números reales. A partir de nuestras observaciones sobre la línea media y la amplitud, se sigue que el rango de una función circular con línea media \(y = m\) y amplitud \(a\) es el intervalo \([m-a,m+a]\text{.}\)

Finalmente, introducimos la definición formal de una función periódica.

Para una función circular, el período es siempre la circunferencia del círculo que genera la curva. En Figura 2.1.10, vemos cómo la curva ha completado un ciclo completo de comportamiento cada \(p\) unidades, sin importar dónde comencemos en la curva.

Las funciones circulares surgen como modelos para fenómenos importantes en el mundo que nos rodea, como en un oscilador armónico. Considera una masa unida a un resorte donde la masa se encuentra en una superficie sin fricción. Después de poner la masa en movimiento estirando o comprimiendo el resorte, la masa oscilará indefinidamente de un lado a otro, y su distancia desde un punto fijo en la superficie resulta estar dada por una función circular.

Así como hay tendencias importantes en los valores de una función circular, también hay patrones interesantes en la tasa promedio de cambio de la función. Estos patrones están estrechamente ligados a la geometría del círculo.

Para la siguiente parte de nuestra discusión, consideramos un círculo de radio \(1\) centrado en \((0,0)\text{,}\) y consideramos un punto que recorre una distancia \(d\) en sentido antihorario alrededor del círculo con su punto de partida visto como \((1,0)\text{.}\) Usamos este círculo para generar la función circular \(h = f(d)\) que rastrea la altura del punto en el momento en que el punto ha recorrido \(d\) unidades alrededor del círculo desde \((1,0)\text{.}\) Consideremos la tasa promedio de cambio de \(f\) en varios intervalos que están conectados a ciertas fracciones de la circunferencia.

Podemos estudiar la tasa promedio de cambio no solo en el círculo mismo, sino también en un gráfico como en Figure 2.1.10, y así sacar conclusiones sobre dónde la función está aumentando, disminuyendo, cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo.