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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 1.6 Funciones Compuestas

Recuerda que una función, por definición, es un proceso que toma una colección de entradas y produce una colección correspondiente de salidas de tal manera que el proceso produce un único valor de salida para cualquier valor de entrada. Dado que cada función es un proceso, tiene sentido pensar que puede ser posible tomar dos procesos de funciones y hacer uno de los procesos primero, y luego aplicar el segundo proceso al resultado.

Example 1.6.1.

Supongamos que sabemos que \(y\) es una función de \(x\) según el proceso definido por \(y = f(x) = x^2 - 1\) y, a su vez, \(x\) es una función de \(t\) a través de \(x = g(t) = 3t - 4\text{.}\) ¿Es posible combinar estos procesos para generar una nueva función de modo que \(y\) sea una función de \(t\text{?}\)
Solution.
Dado que \(y\) depende de \(x\) y \(x\) depende de \(t\text{,}\) se deduce que también podemos pensar que \(y\) depende directamente de \(t\text{.}\) Podemos usar la sustitución y la notación de funciones para determinar esta relación.
Primero, es importante darse cuenta de lo que nos dice la regla para \(f\text{.}\) En palabras, \(f\) dice “para generar la salida que corresponde a una entrada, tome la entrada, elévela al cuadrado y luego reste \(1\text{.}\)” En símbolos, podríamos expresar \(f\) más generalmente escribiendo “\(f(\Box) = \Box^2 - 1\text{.}\)”
Ahora, observando que \(y = f(x) = x^2 - 1\) y que \(x = g(t) = 3t - 4\text{,}\) podemos sustituir la expresión \(g(t)\) por \(x\) en \(f\text{.}\) Haciendo esto,
\begin{align*} y &= f(x)\\ &= f(g(t))\\ &= f(3t-4)\text{.} \end{align*}
Aplicando el proceso definido por la función \(f\) a la entrada \(3t-4\text{,}\) vemos que
\begin{equation*} y = (3t-4)^2 - 1\text{,} \end{equation*}
lo cual define \(y\) como una función de \(t\text{.}\)
Cuando tenemos una situación como en Example 1.6.1 donde usamos la salida de una función como la entrada de otra, a menudo decimos que hemos “compuesto dos funciones”. Además, utilizamos la notación \(h(t) = f(g(t))\) para denotar que una nueva función, \(h\text{,}\) resulta de componer las dos funciones \(f\) y \(g\text{.}\)

Preview Activity 1.6.1.

Sea \(y = p(x) = 3x - 4\) y \(x = q(t) = t^2 - 1\text{.}\)
  1. Sea \(r(t) = p(q(t))\text{.}\) Determina una fórmula para \(r\) que dependa solo de \(t\) y no de \(p\) o \(q\text{.}\)
  2. Recuerda el Ejemplo 1.6.1, que involucraba funciones similares a \(p\) y \(q\text{.}\) ¿Cuál es la mayor diferencia entre su trabajo en (a) anterior y en Example 1.6.1?
  3. Sea \(t = s(z) = \frac{1}{z+4}\) y recuerda que \(x = q(t) = t^2 - 1\text{.}\) Determina una fórmula para \(x = q(s(z))\) que dependa solo de \(z\text{.}\)
  4. Supón que \(h(t) = \sqrt{2t^2 + 5}\text{.}\) Determina fórmulas para dos funciones relacionadas, \(y = f(x)\) y \(x = g(t)\text{,}\) de modo que \(h(t) = f(g(t))\text{.}\)

Subsection 1.6.1 Componiendo dos funciones

Cuando tenemos dos funciones, digamos \(g : A \to B\) y \(f : B \to C\text{,}\) donde el codominio de \(g\) coincide con el dominio de \(f\text{,}\) es posible enlazar los dos procesos para crear un nuevo proceso que llamamos la composición de \(f\) y \(g\text{.}\)

Definition 1.6.2.

Si \(f\) y \(g\) son funciones tales que \(g : A \to B\) y \(f : B \to C\text{,}\) definimos la composición de \(f\) y \(g\) como la nueva función \(h: A \to C\) dada por
\begin{equation*} h(t) = f(g(t))\text{.} \end{equation*}
A veces también usamos la notación \(h = f \circ g\text{,}\) donde \(f \circ g\) es la función única definida por \((f \circ g)(t) = f(g(t))\text{.}\)
A veces llamamos a \(g\) la “función interna” y a \(f\) la “función externa”. Es importante notar que la función interna es realmente la primera función que se aplica a un input dado, y luego la función externa se aplica al output de la función interna. Además, para que una función compuesta tenga sentido, necesitamos asegurarnos de que el rango de la función interna esté dentro del dominio de la función externa para que la función compuesta resultante esté definida en cada input posible.
Además de la posibilidad de que las funciones se den mediante fórmulas, las funciones pueden darse mediante tablas o gráficos. También podemos pensar en funciones compuestas en estos contextos, y las siguientes actividades nos invitan a considerar funciones dadas de esta manera.

Activity 1.6.2.

Sean las funciones \(p\) y \(q\) dadas por los gráficos en Figura 1.6.4 (los cuales son cada uno lineales a trozos, es decir, partes que parecen líneas rectas son líneas rectas) y las funciones \(f\) y \(g\) dadas por la Tabla 1.6.3.
\(x\) 0 1 2 3 4
\(f(x)\) 6 4 3 4 6
\(g(x)\) 1 3 0 4 2
Table 1.6.3. Tabla que define \(f\) y \(g\text{.}\)
Figure 1.6.4. Los gráficos de \(p\) y \(q\text{.}\)
Calcula cada una de las siguientes cantidades o explica por qué no están definidas.
  1. \(\displaystyle p(q(0))\)
  2. \(\displaystyle q(p(0))\)
  3. \(\displaystyle (p \circ p)(-1)\)
  4. \(\displaystyle (f \circ g)(2)\)
  5. \(\displaystyle (g \circ f)(3)\)
  6. \(\displaystyle g(f(0))\)
  7. ¿Para qué valor(es) de \(x\) se cumple que \(f(g(x)) = 4\text{?}\)
  8. ¿Para qué valor(es) de \(x\) se cumple que \(q(p(x)) = 1\text{?}\)

Subsection 1.6.2 Composing functions in context

Recuerda la función de Dolbear, \(T = D(N) = 40 + 0.25N\text{,}\) que relaciona el número de chirridos por minuto de un grillo de nieve con la temperatura en Fahrenheit, \(T\text{.}\) Anteriormente establecimos que \(D\) tiene un dominio de \([40,160]\) y un rango correspondiente de \([50,85]\text{.}\) En lo que sigue, reemplazamos \(T\) con \(F\) para enfatizar que la temperatura se mide en grados Fahrenheit.
Las escalas de temperatura Celsius y Fahrenheit están conectadas por una función lineal. De hecho, la función que convierte Fahrenheit a Celsius es
\begin{equation*} C = G(F) = \frac{5}{9}(F-32)\text{.} \end{equation*}
Por ejemplo, una temperatura de \(32\) grados Fahrenheit corresponde a \(C = G(32) = 0\) grados Celsius.

Activity 1.6.3.

Sea \(F = D(N) = 40 + 0.25N\) la función de Dolbear que convierte un input de número de chirridos por minuto a grados Fahrenheit, y sea \(C = G(F) = \frac{5}{9}(F-32)\) la función que convierte un input de grados Fahrenheit a un output de grados Celsius.
  1. Determina una fórmula para la nueva función \(H = (G \circ D)\) que dependa solo de la variable \(N\text{.}\)
  2. ¿Cuál es el significado de la función que encontraste en (a)?
  3. ¿Cómo se compara un gráfico de la función \(H = (G \circ D)\) con el de la función de Dolbear? Dibuja un gráfico de \(y = H(N) = (G \circ D)(N)\) en los ejes en blanco a la derecha del gráfico de la función de Dolbear, y discute las similitudes y diferencias entre ellos. Asegúrate de etiquetar la escala vertical en tus ejes.
    Figure 1.6.5. Función de Dolbear
    Figure 1.6.6. Ejes en blanco para graficar \(H = (G \circ D)(N)\text{.}\)
  4. ¿Cuál es el dominio de la función \(H = G \circ D\text{?}\) ¿Cuál es su rango?

Subsection 1.6.3 Composición de funciones y tasa de cambio promedio

Recuerda que la tasa de cambio promedio de una función \(f\) en el intervalo \([a,b]\) se da por
\begin{equation*} AV_{[a,b]} = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}\text{.} \end{equation*}
En la Figura 1.6.7, vemos la representación familiar de \(AV_{[a,b]}\) como la pendiente de la línea que une los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) en el gráfico de \(f\text{.}\) En el estudio del cálculo, progresamos de la tasa de cambio promedio en un intervalo a la tasa de cambio instantánea de una función en un solo valor; la idea central que nos permite pasar de una tasa promedio a una instantánea es dejar que el intervalo \([a,b]\) se reduzca en tamaño.
Figure 1.6.7. \(AV_{[a,b]}\) is the slope of the line joining the points \((a,f(a))\) and \((b,f(b))\) on the graph of \(f\text{.}\)
Figure 1.6.8. \(AV_{[a,b]}\) es la pendiente de la línea que une los puntos \((a,f(a))\) y \((b,f(b))\) en el gráfico de \(f\text{.}\)
Para pensar en el intervalo \([a,b]\) reduciéndose mientras \(a\) permanece fijo, a menudo cambiamos nuestra perspectiva y pensamos en \(b\) como \(b = a + h\text{,}\) donde \(h\) mide la diferencia horizontal de \(b\) a \(a\text{.}\) Esto nos permite eventualmente pensar en \(h\) acercándose cada vez más a \(0\) (sin llegar a ser igual a \(0\)), y en ese contexto consideramos la expresión equivalente
\begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h) - f(a)}{a+h-a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{equation*}
para la tasa de cambio promedio de \(f\) en \([a,a+h]\text{.}\)
En esta expresión más reciente para \(AV_{[a,a+h]}\text{,}\) vemos el papel importante que juega la función compuesta “\(f(a+h)\)”. En particular, para entender la expresión para \(AV_{[a,a+h]}\) necesitamos evaluar \(f\) en la cantidad \((a+h)\text{.}\)

Example 1.6.9.

Supón que \(f(x) = x^2\text{.}\) Determina la expresión más simple posible que puedas encontrar para \(AV_{[3,3+h]}\text{,}\) la tasa de cambio promedio de \(f\) en el intervalo \([3,3+h]\text{.}\)
Solution.
Por definición, sabemos que
\begin{equation*} AV_{[3,3+h]} = \frac{f(3+h)-f(3)}{h}. \end{equation*}
Usando la fórmula para \(f\text{,}\) vemos que
\begin{equation*} AV_{[3,3+h]} = \frac{(3+h)^2-(3)^2}{h}. \end{equation*}
Expandiendo el numerador y combinando términos semejantes, se sigue que
\begin{align*} AV_{[3,3+h]} &= \frac{(9+6h+h^2)-9}{h}\\ &= \frac{6h + h^2}{h}\text{.} \end{align*}
Eliminando un factor de \(h\) en el numerador y observando que \(h \ne 0\text{,}\) podemos simplificar y encontrar que
\begin{align*} AV_{[3,3+h]} &= \frac{h(6 + h)}{h}\\ &= 6+h\text{.} \end{align*}
Por lo tanto, \(AV_{[3,3+h]} = 6+h\text{,}\) que es la tasa de cambio promedio de \(f(x) = x^2\) en el intervalo \([3,3+h]\text{.}\)
 1 
Nota que \(6 + h\) es una función lineal de \(h\text{.}\) Este cálculo está relacionado con la observación que hicimos en la Tabla 1.5.9 sobre cómo hay un aspecto lineal en cómo la tasa de cambio promedio de una función cuadrática cambia a medida que modificamos el intervalo.

Activity 1.6.4.

Sea \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\) y \(g(x) = \frac{5}{x}\text{.}\)
  1. Calcula \(f(1+h)\) y expande y simplifica el resultado tanto como sea posible combinando términos semejantes.
  2. Determina la expresión más simplificada posible para la tasa de cambio promedio de \(f\) en el intervalo \([1,1+h]\text{.}\) Es decir, determina \(AV_{[1,1+h]}\) para \(f\) y simplifica el resultado tanto como sea posible.
  3. Calcula \(g(1+h)\text{.}\) ¿Hay algún álgebra válida que puedas hacer para escribir \(g(1+h)\) de manera más simple?
  4. Determina la expresión más simplificada posible para la tasa de cambio promedio de \(g\) en el intervalo \([1,1+h]\text{.}\) Es decir, determina \(AV_{[1,1+h]}\) para \(g\) y simplifica el resultado.
En la Actividad 1.6.4, vemos un escenario importante donde la simplificación algebraica juega un papel crucial en el cálculo. Porque la expresión
\begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{equation*}
siempre comienza con un \(h\) en el denominador, para entender con precisión cómo se comporta esta cantidad cuando \(h\) se acerca a \(0\text{,}\) se necesita una versión simplificada de esta expresión. Por ejemplo, como encontramos en la parte (b) de la Actividad 1.6.4, es posible mostrar que para \(f(x) = 2x^2 - 3x + 1\text{,}\)
\begin{equation*} AV_{[1,1+h]} = 2h + 1\text{,} \end{equation*}
lo cual es una expresión mucho más simple de investigar.

Subsection 1.6.4 Resumen

  • Cuando está definida, la composición de dos funciones \(f\) y \(g\) produce una nueva función \(f \circ g\) según la regla \((f \circ g)(x) = f(g(x))\text{.}\) Observamos que \(g\) se aplica primero al input \(x\text{,}\) y luego \(f\) se aplica al output \(g(x)\) que resulta de \(g\text{.}\)
  • En la función compuesta \(h(x) = f(g(x))\text{,}\) la función “interna” es \(g\) y la función “externa” es \(f\text{.}\) Nota que la función interna se aplica a \(x\) primero, aunque la función externa aparezca primero cuando leemos de izquierda a derecha. La función compuesta solo está definida siempre que el codominio de \(g\) coincida con el dominio de \(f\text{:}\) es decir, necesitamos que cualquier output posible de \(g\) esté entre los inputs permitidos para \(f\text{.}\) En particular, podemos decir que si \(g : A \to B\) y \(f : B \to C\text{,}\) entonces \(f \circ g : A \to C\text{.}\) Así, el dominio de la función compuesta es el dominio de la función interna, y el codominio de la función compuesta es el codominio de la función externa.
  • Porque la expresión \(AV_{[a,a+h]}\) se define por
    \begin{equation*} AV_{[a,a+h]} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \end{equation*}
    y esto incluye la cantidad \(f(a+h)\text{,}\) la tasa de cambio promedio de una función en el intervalo \([a,a+h]\) siempre implica la evaluación de una expresión de función compuesta. Esta idea juega un papel crucial en el estudio del cálculo.

Exercises 1.6.5 Exercises

1.

Suppose \(r = f(t)\) is the radius, in centimeters, of a circle at time \(t\) minutes, and \(A(r)\) is the area, in square centimeters, of a circle of radius \(r\) centimeters.
Which of the following statements best explains the meaning of the composite function \(A(f(t))\text{?}\)
  • The function \(f\) of the minutes and the area.
  • The radius of a circle, in centimeters, at time \(t\) minutes.
  • The area of a circle, in square centimeters, at time \(t\) minutes.
  • The area of a circle, in square centimeters, of radius \(r\) centimeters.
  • None of the above

2.

A swinging pendulum is constructed from a piece of string with a weight attached to the bottom. The length of the pendulum depends on how much string is let out. Suppose \(L = f(t)\) is the length, in centimeters, of the pendulum at time \(t\) minutes, and \(P(L)\) is the period, in seconds, of a pendulum of length \(L\text{.}\)
Which of the following statements best explains the meaning of the composite function \(P(f(t))\text{?}\)
  • The period \(P\) of the pendulum, in seconds, after \(t\) minutes have elapsed.
  • The period \(P\) of the pendulum, in minutes, when the pendulum has length \(L\) meters.
  • The period \(P\) of the pendulum, in minutes, after \(t\) minutes have elapsed.
  • The period \(P\) of the pendulum, in seconds, when the pendulum has length \(L\) meters.
  • None of the above

3.

The formula for the volume of a cube with side length \(s\) is \(V = s^3\text{.}\) The formula for the surface area of a cube is \(A = 6s^2\text{.}\)
(a) Find the formula for the function \(s = f(A)\text{.}\)
\(s = f(A) =\)
Which of the statements best explains the meaning of \(s = f(A)\text{?}\)
  • The surface area of a cube of side length \(s\)
  • The volume of a cube of side length \(s\)
  • The side length for a cube of volume \(V\)
  • The side length for a cube of surface area \(A\)
(b) If \(V = g(s)\text{,}\) find a formula for \(g(f(A)).\)
\(g(f(A)) =\)
Which of the statements best explains the meaning of \(g(f(A))\text{?}\)
  • The surface area for a cube of side length \(s\)
  • The surface area for a cube of volume \(V\)
  • The volume for a cube of side length \(s\)
  • The volume for a cube with surface area \(A\)

4.

Given that \(f(x)= 8x+1\) and \(g(x)=5x+5\text{,}\) calculate
(a) \(f\circ g(x)\)=
(b) \(g\circ f(x)\)=
(c) \(f\circ f(x)\)=
(d) \(g\circ g(x)\)=

5.

This problem gives you some practice identifying how more complicated functions can be built from simpler functions.
Let \(f(x)= x^3-27\)and let \(g(x)=x-3\text{.}\) Match the functions defined below with the letters labeling their equivalent expressions.
Error: PGchoicemacros: match_questions_list: Unknown displayMode: PTX.
  1. \(\displaystyle 9 + 3x + x^2\)
  2. \(\displaystyle -27 + x^6\)
  3. \(\displaystyle -30 + x^3\)
  4. \(\displaystyle -3 + x^2\)

6.

The number of bacteria in a refrigerated food product is given by \(N(T) = 30 T^2 - 124 T + 86\text{,}\) \(4 \lt T \lt 34\) where \(T\) is the temperature of the food.
When the food is removed from the refrigerator, the temperature is given by \(T(t) = 7 t + 1.7\) , where \(t\) is the time in hours.
Find the composite function \(N(T(t))\text{:}\)
\(N(T(t)) =\)
Find the time when the bacteria count reaches 5928
Time Needed =

7.

Let \(f(x) = 2 x + 4\) and \(g(x) = 4 x^2 + 5 x\text{.}\)
Then \((f\circ g)(2) =\) ,
\((f \circ g)(x ) =\) .

8.

Usa la información dada sobre varias funciones para responder las siguientes preguntas que involucran composición.
  1. Sean las funciones \(f\) y \(g\) dadas por los gráficos en Figura 1.6.10 y 1.6.11. Un círculo abierto significa que no hay un punto en esa ubicación en el gráfico. Por ejemplo, \(f(-1) = 1\text{,}\) pero \(f(3)\) no está definido.
    Figure 1.6.10. Gráfico de \(y = f(x)\text{.}\)
    Figure 1.6.11. Gráfico de \(y = g(x)\text{.}\)
    Determina \(f(g(1))\) y \(g(f(-2))\text{.}\)
  2. Nuevamente usando las funciones dadas en (a), ¿puedes determinar un valor de \(x\) para el cual \(g(f(x))\) no está definido? ¿Por qué o por qué no?
  3. Sean las funciones \(r\) y \(s\) definidas por Tabla 1.6.12.
    Table 1.6.12. Tabla que define \(r\) y \(s\text{.}\)
    \(t\) \(-4\) \(-3\) \(-2\) \(-1\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\)
    \(r(t)\) \(4\) \(1\) \(2\) \(3\) \(0\) \(-3\) \(2\) \(-1\) \(-4\)
    \(s(t)\) \(-5\) \(-6\) \(-7\) \(-8\) \(0\) \(8\) \(7\) \(6\) \(5\)
    Determina \((s \circ r)(3)\text{,}\) \((s \circ r)(-4)\text{,}\) y \((s \circ r)(a)\) para un valor adicional de \(a\) de tu elección.
  4. Para las funciones \(r\) y \(s\) definidas en (c), indica el dominio y el rango de cada función. ¿Para cuántos valores diferentes de \(b\) es posible determinar \((r \circ s)(b)\text{?}\) Explica.
  5. Sea \(m(u) = u^3 + 4u^2 - 5u + 1\text{.}\) Determina expresiones para \(m(x^2)\text{,}\) \(m(2+h)\text{,}\) y \(m(a+h)\text{.}\)
  6. Para la función \(F(x) = 4 - 3x - x^2\text{,}\) determina la expresión más simplificada que puedas encontrar para \(AV_{[2,2+h]}\text{.}\) Muestra tu trabajo algebraico y pensamiento completamente.

9.

Recuerda la función de Dolbear que define la temperatura, \(F\text{,}\) en grados Fahrenheit, como una función del número de chirridos por minuto, \(N\text{,}\) es \(F = D(N) = 40 + \frac{1}{4}N\text{.}\)
  1. Resuelve la ecuación \(F = 40 + \frac{1}{4}N\) para \(N\) en términos de \(F\text{.}\)
  2. Supón que \(N = g(F)\) es la función que acabas de encontrar en (a). ¿Cuál es el significado de esta función? ¿Qué toma como entradas y qué produce como salidas?
  3. ¿Cuántos chirridos por minuto esperamos cuando la temperatura exterior es de \(82\) grados F? ¿Cómo podemos expresar esto en la notación de la función \(g\text{?}\)
  4. Recuerda que la función que convierte Fahrenheit a Celsius es \(C = G(F) = \frac{5}{9}(F-32)\text{.}\) Resuelve la ecuación \(C = \frac{5}{9}(F-32)\) para \(F\) en términos de \(C\text{.}\) Llama a la función resultante \(F = p(C)\text{.}\) ¿Cuál es el significado de esta función?
  5. ¿Es posible escribir la tasa de chirridos \(N\) como una función de la temperatura \(C\) en Celsius? Es decir, ¿podemos producir una función cuya entrada esté en grados Celsius y cuya salida sea el número de chirridos por minuto? Si es así, hazlo y explica tu razonamiento. Si no, explica por qué no es posible.

10.

Para cada una de las siguientes funciones, encuentra dos funciones más simples \(f\) y \(g\) de manera que la función dada pueda ser escrita como la función compuesta \(g \circ f\text{.}\)
  1. \(\displaystyle h(x) = (x^2 + 7)^3\)
  2. \(\displaystyle r(x) = \sqrt{5-x^3}\)
  3. \(\displaystyle m(x) = \frac{1}{x^4 + 2x^2 + 1}\)
  4. \(\displaystyle w(x) = 2^{3-x^2}\)

11.

Un tanque esférico tiene un radio de \(4\) pies. El tanque está inicialmente vacío y luego comienza a llenarse de tal manera que la altura del agua sube a una tasa constante de \(0.4\) pies por minuto. Sea \(V\) el volumen de agua en el tanque en un momento dado, y \(h\) la profundidad del agua en el mismo momento; sea \(t\) el tiempo transcurrido en minutos desde que el tanque comenzó a llenarse.
  1. El cálculo puede usarse para mostrar que el volumen, \(V\text{,}\) es una función de la profundidad, \(h\text{,}\) del agua en el tanque según la función
    \begin{equation} V = f(h) = \frac{\pi}{3} h^2(12-h)\text{.}\tag{1.6.1} \end{equation}
    ¿Cuál es el dominio de este modelo? ¿Por qué? ¿Cuál es el rango correspondiente?
  2. Se nos da el hecho de que el tanque se está llenando de tal manera que la altura del agua sube a una tasa constante de \(0.4\) pies por minuto. Dicho de otra manera, \(h\) es una función de \(t\) cuya tasa de cambio promedio es constante. ¿Qué tipo de función hace esto \(h = p(t)\text{?}\) Determina una fórmula para \(p(t)\text{.}\)
  3. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función \(h = p(t)\text{?}\) ¿Cómo está esto relacionado con las dimensiones del tanque?
  4. En (a) observamos que \(V\) es una función de \(h\text{,}\) y en (b) encontramos que \(h\) es una función de \(t\text{.}\) Usa estos dos hechos y la composición de funciones apropiadamente para escribir \(V\) como una función de \(t\text{.}\) Llama a la función resultante \(V = q(t)\text{.}\)
  5. ¿Cuáles son el dominio y el rango de la función \(q\text{?}\) ¿Por qué?
  6. En los ejes proporcionados, dibuja gráficos precisos de \(h = p(t)\) y \(V = q(t)\text{,}\) etiquetando la escala vertical y horizontal en cada gráfico apropiadamente. Haz tus gráficos lo más precisos posible; usa un dispositivo de computación para asistir según sea necesario.
    ¿Por qué cada uno de los dos gráficos tiene sus respectivas formas? Escribe al menos una oración para explicar cada gráfico; refiérete explícitamente a la forma del tanque y otra información dada en el problema.
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