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Preludio Activo al Cálculo

Matthew Boelkins

Section 4.4 Encontrando Ángulos

En nuestro trabajo anterior en Section 4.1 y Section 4.2, observamos que en cualquier triángulo rectángulo, si conocemos la medida de un ángulo adicional y la longitud de un lado adicional, podemos determinar todas las demás partes del triángulo. Con las funciones trigonométricas inversas que desarrollamos en Section 4.3, ahora también podemos determinar los ángulos faltantes en cualquier triángulo rectángulo donde conocemos las longitudes de dos lados.
Mientras que las funciones trigonométricas originales toman un ángulo particular como entrada y proporcionan una salida que puede verse como la razón de dos lados de un triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas inversas toman una entrada que puede verse como una razón de dos lados de un triángulo rectángulo y producen el ángulo correspondiente como salida. De hecho, es imperativo recordar que declaraciones como
\begin{equation*} \arccos(x) = \theta \ \text{ y } \ \cos(\theta) = x \end{equation*}
dicen exactamente lo mismo desde dos perspectivas diferentes, y que leemos “\(\arccos(x)\)” como “el ángulo cuyo coseno es \(x\)”.

Preview Activity 4.4.1.

Considera un triángulo rectángulo que tiene un cateto de longitud \(3\) y otro cateto de longitud \(\sqrt{3}\text{.}\) Deja que \(\theta\) sea el ángulo que se encuentra opuesto al cateto más corto.
  1. Dibuja un esquema etiquetado del triángulo.
  2. ¿Cuál es la longitud exacta de la hipotenusa del triángulo?
  3. ¿Cuál es el valor exacto de \(\sin(\theta)\text{?}\)
  4. Reescribe tu ecuación de (c) usando la función arcseno en la forma \(\arcsin(\Box) = \Delta\text{,}\) donde \(\Box\) y \(\Delta\) son valores numéricos.
  5. ¿Qué ángulo especial del círculo unitario es \(\theta\text{?}\)

Subsection 4.4.1 Evaluando funciones trigonométricas inversas

Al igual que las funciones trigonométricas en sí mismas, hay un puñado de valores importantes de las funciones trigonométricas inversas que podemos determinar exactamente sin la ayuda de una computadora. Por ejemplo, sabemos del círculo unitario (Figura 2.3.1) que \(\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}\text{,}\) \(\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{5\pi}{6}\text{,}\) y \(\arctan(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}\text{.}\) En estas evaluaciones, tenemos que tener cuidado de recordar que el rango de la función arccoseno es \([0,\pi]\text{,}\) mientras que el rango de la función arcseno es \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) y el rango de la función arcotangente es \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{,}\) para asegurarnos de elegir el ángulo apropiado que resulta de la función trigonométrica inversa.
Además, hay muchos otros valores en los que podemos desear conocer el ángulo que resulta de una función trigonométrica inversa. Para determinar dichos valores, usamos un dispositivo computacional (como Desmos) para evaluar la función.

Example 4.4.1.

Considera el triángulo rectángulo representado en la Figura 4.4.2 y supón que sabemos que la pierna vertical tiene una longitud de \(1\) y la hipotenusa tiene una longitud de \(3\text{.}\) Sea \(\alpha\) el ángulo opuesto a la pierna conocida. Determina valores exactos y aproximados para todas las partes restantes del triángulo.
Figure 4.4.2. Un triángulo rectángulo con una pierna conocida y una hipotenusa conocida.
Solution.
Debido a que conocemos la hipotenusa y el lado opuesto a \(\alpha\text{,}\) observamos que \(\sin(\alpha) = \frac{1}{3}\text{.}\) Reescribiendo esta afirmación usando la notación de función inversa, tenemos equivalentemente que \(\alpha = \arcsin(\frac{1}{3})\text{,}\) que es el valor exacto de \(\alpha\text{.}\) Como este no es uno de los ángulos especiales conocidos en el círculo unitario, podemos encontrar una estimación numérica de \(\alpha\) usando un dispositivo computacional. Ingresando arcsin(1/3) en Desmos, encontramos que \(\alpha \approx 0.3398\) radianes. Nota bien: cualquier dispositivo que usemos, necesitamos tener cuidado de usar el modo de grados o radianes según lo dictado por el problema que estamos resolviendo. Siempre trabajaremos en radianes a menos que se indique lo contrario.
Ahora podemos encontrar la longitud de la pierna restante y la medida del ángulo restante. Si dejamos que \(x\) represente la longitud de la pierna horizontal, por el Teorema de Pitágoras sabemos que
\begin{equation*} x^2 + 1^2 = 3^2\text{,} \end{equation*}
y así \(x^2 = 8\) por lo que \(x = \sqrt{8} \approx 2.8284\text{.}\) Llamando al ángulo restante \(\beta\text{,}\) dado que \(\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}\text{,}\) se sigue que
\begin{equation*} \beta = \frac{\pi}{2} - \arcsin \left(\frac{1}{3}\right) \approx 1.2310\text{.} \end{equation*}

Activity 4.4.2.

Para cada uno de los siguientes escenarios diferentes, dibuja una imagen de la situación y usa funciones trigonométricas inversas apropiadamente para determinar la información faltante tanto exactamente como aproximadamente.
  1. Considera un triángulo rectángulo con piernas de longitud \(11\) y \(13\text{.}\) ¿Cuáles son las medidas (en radianes) de los ángulos no rectos y cuál es la longitud de la hipotenusa?
  2. Considera un ángulo \(\alpha\) en posición estándar (vértice en el origen, un lado en el eje \(x\) positivo) para el cual sabemos que \(\cos(\alpha) = -\frac{1}{2}\) y \(\alpha\) se encuentra en el cuadrante III. ¿Cuál es la medida de \(\alpha\) en radianes? Además, ¿cuál es el valor de \(\sin(\alpha)\text{?}\)
  3. Considera un ángulo \(\beta\) en posición estándar para el cual sabemos que \(\sin(\beta) = 0.1\) y \(\beta\) se encuentra en el cuadrante II. ¿Cuál es la medida de \(\beta\) en radianes? Además, ¿cuál es el valor de \(\cos(\beta)\text{?}\)

Subsection 4.4.2 Encontrar ángulos en contextos aplicados

Ahora que hemos desarrollado las funciones (restringidas) seno, coseno y tangente y sus respectivos inversos, en cualquier situación en la que tengamos un triángulo rectángulo junto con una longitud de lado y cualquier otra pieza adicional de información (otra longitud de lado o una medida de ángulo no recto), podemos determinar todas las piezas restantes del triángulo. En las actividades que siguen, exploramos estas posibilidades en una variedad de contextos aplicados diferentes.

Activity 4.4.3.

Se está construyendo un techo con una “inclinación de 7-12.” Esto significa que el techo sube \(7\) pulgadas verticalmente por cada \(12\) pulgadas de extensión horizontal; en otras palabras, la pendiente del techo es \(\frac{7}{12}\text{.}\) ¿Cuál es la medida exacta (en grados) del ángulo que el techo forma con la horizontal? ¿Cuál es la medida aproximada? ¿Cuáles son las medidas exactas y aproximadas del ángulo en el pico del techo (formado por las partes delantera y trasera del techo que se encuentran para formar la cresta)?

Activity 4.4.4.

En un diamante de béisbol (que es un cuadrado con lados de \(90\) pies), el tercera base atrapa la pelota justo en la línea desde la tercera base hasta el plato de home y a \(10\) pies de la tercera base (hacia el plato de home). Cuando lanza la pelota a la primera base, ¿qué ángulo (en grados) forma la línea que recorre la pelota con la línea de la primera base? ¿Qué ángulo forma con la línea de la tercera base? Dibuja un diagrama bien etiquetado para apoyar tu razonamiento.
¿Qué ángulos surgen si lanza la pelota a la segunda base en su lugar?

Activity 4.4.5.

Una cámara está siguiendo el lanzamiento de un cohete de SpaceX. La cámara está ubicada a \(4000\)’ del lugar de lanzamiento del cohete, y el ángulo de la cámara cambia para mantener el cohete enfocado. ¿A qué ángulo \(\theta\) (en radianes) está inclinada la cámara cuando el cohete está a \(3000\)’ del suelo? Responde tanto exactamente como aproximadamente.
Ahora, en lugar de considerar el cohete a una altura fija de \(3000\)’, deja que su altura varíe y llama a la altura del cohete \(h\text{.}\) Determina el ángulo de la cámara, \(\theta\) como una función de \(h\text{,}\) y calcula la tasa promedio de cambio de \(\theta\) en los intervalos \([3000,3500]\text{,}\) \([5000,5500]\text{,}\) y \([7000,7500]\text{.}\) ¿Qué observas sobre cómo está cambiando el ángulo de la cámara?

Subsection 4.4.3 Resumen

  • Cada vez que conocemos dos longitudes de lado en un triángulo rectángulo, podemos usar una de las funciones trigonométricas inversas para determinar la medida de uno de los ángulos no rectos. Por ejemplo, si conocemos los valores de \(\text{opp}\) y \(\text{adj}\) en Figura 4.4.3, entonces dado que
    \begin{equation*} \tan(\theta) = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}\text{,} \end{equation*}
    se sigue que \(\theta = \arctan(\frac{\text{opp}}{\text{adj}})\text{.}\)
    Si en cambio conocemos la hipotenusa y una de las dos piernas, podemos usar la función arcseno o arcocoseno según corresponda.
    Figure 4.4.3. Encontrar un ángulo conociendo las piernas en un triángulo rectángulo.
  • Para situaciones distintas a ángulos o razones que involucran los \(16\) puntos especiales en el círculo unitario, se requiere tecnología para evaluar funciones trigonométricas inversas. Por ejemplo, del círculo unitario sabemos que \(\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}\) (exactamente), pero si queremos saber \(\arccos(\frac{1}{3})\text{,}\) tenemos que estimar este valor usando un dispositivo computacional como Desmos. Notamos que “\(\arccos(\frac{1}{3})\)” es el valor exacto del ángulo cuyo coseno es \(\frac{1}{3}\text{.}\)

Exercises 4.4.4 Exercises

1.

En un espectáculo aéreo, una piloto está volando bajo sobre una pista mientras mantiene una altitud constante de \(2000\) pies y una velocidad constante. En un camino recto sobre la pista, la piloto observa en su telémetro láser que la distancia desde el avión hasta un edificio fijo adyacente a la pista es de \(7500\) pies. Cinco segundos después, observa que la distancia al mismo edificio es ahora de \(6000\) pies.
  1. ¿Cuál es el ángulo de depresión desde el avión hasta el edificio cuando el avión está a \(7500\) pies del edificio? (El ángulo de depresión es el ángulo que la línea de visión de la piloto forma con la horizontal).
  2. ¿Cuál es el ángulo de depresión cuando el avión está a \(6000\) pies del edificio?
  3. ¿Qué distancia recorrió el avión durante el tiempo entre las dos observaciones diferentes?
  4. ¿Cuál es la velocidad del avión (en millas por hora)?

2.

En un día tranquilo, un fotógrafo está filmando un globo aerostático. Cuando el globo se lanza, el fotógrafo está ubicado a \(850\) pies del globo.
  1. Cuando el globo está a \(200\) pies del suelo, ¿cuál es el ángulo de elevación de la cámara?
  2. Cuando el globo está a \(275\) pies del suelo, ¿cuál es el ángulo de elevación de la cámara?
  3. Sea \(\theta\) el ángulo de elevación de la cámara cuando el globo está a una altura arbitraria \(h\) sobre el suelo. Expresa \(\theta\) como una función de \(h\text{.}\)
  4. Determina \(AV_{[200,275]}\) para \(\theta\) (como una función de \(h\)) y escribe al menos una oración para explicar cuidadosamente el significado del valor que encuentres, incluyendo unidades.

3.

Considera un triángulo rectángulo donde los dos catetos miden \(5\) y \(12\) respectivamente y \(\alpha\) es el ángulo opuesto al cateto más corto y \(\beta\) es el ángulo opuesto al cateto más largo.
  1. ¿Cuál es el valor exacto de \(\cos(\alpha)\text{?}\)
  2. ¿Cuál es el valor exacto de \(\sin(\beta)\text{?}\)
  3. ¿Cuál es el valor exacto de \(\tan(\beta)\text{?}\) ¿y de \(\tan(\alpha)\text{?}\)
  4. ¿Cuál es la medida exacta en radianes de \(\alpha\text{?}\) ¿medida aproximada?
  5. ¿Cuál es la medida exacta en radianes de \(\beta\text{?}\) ¿medida aproximada?
  6. Verdadero o falso: para cualquier par de ángulos \(\theta\) y \(\gamma\) tales que \(\theta + \gamma = \frac{\pi}{2}\) (radianes), se sigue que \(\cos(\theta) = \sin(\gamma)\text{.}\)
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