Preludio Activo al Cálculo

Es probable que las funciones cuadráticas te resulten familiares por experiencias en cursos anteriores. A lo largo del texto, dejamos \(y = q(x) = ax^2 + bx + c\) donde \(a\text{,}\) \(b\) y \(c\) son números reales con \(a \ne 0\text{.}\) Desde el principio, es importante notar que cuando escribimos \(q(x) = ax^2 + bx + c\) estamos pensando en una familia infinita de funciones donde cada miembro depende de los tres parámetros \(a\text{,}\) \(b\) y \(c\text{.}\)

Debido a que las funciones cuadráticas nos son familiares, repetiremos rápidamente algunas de sus propiedades importantes conocidas.

Como podemos ver en Figura 1.5.3, al desplazar la gráfica de una función cuadrática verticalmente, podemos hacer que su gráfica cruce el eje \(x\) \(0\) veces (como en la gráfica de \(p\)), exactamente \(1\) vez (\(q\)), o dos veces (\(r\)). Estos puntos son las intersecciones con el eje \(x\) de la gráfica.

Toda función cuadrática tiene una intersección con el eje \(y\text{;}\) para una función de la forma \(y = q(x) = ax^2 + bx + c\text{,}\) la intersección con el eje \(y\) es el punto \((0,c)\text{,}\) como se demuestra en Figura 1.5.4.

Además, toda función cuadrática tiene una gráfica simétrica que siempre se curva hacia arriba o siempre se curva hacia abajo. La gráfica se abre hacia arriba si y solo si \(a \gt 0\) y se abre hacia abajo si y solo si \(a \lt 0\text{.}\) A menudo llamamos a la gráfica de una función cuadrática una parábola. Toda parábola es simétrica respecto a una línea vertical que pasa por su punto más bajo o más alto.

Nota en particular que, debido a la simetría, el vértice de una función cuadrática se encuentra a medio camino entre sus intersecciones con el eje \(x\) (siempre que la función tenga intersecciones con el eje \(x\)). En ambas Figuras 1.5.5 y 1.5.6, vemos cómo la parábola es simétrica respecto a la línea vertical que pasa por el vértice. Una forma de entender esta simetría puede verse escribiendo una función cuadrática dada en una forma algebraica diferente.

En Example 1.5.7, vimos algunas de las ventajas de escribir una función cuadrática en la forma \(q(x) = a(x-h)^2 + k\text{.}\) Llamamos a esta la forma de vértice de una función cuadrática.

Una de las razones por las que las funciones cuadráticas son tan importantes es debido a un hecho físico del universo que habitamos: para un objeto influenciado solo por la gravedad, la aceleración debido a la gravedad es constante. Si medimos el tiempo en segundos y la altura de un objeto que sube o cae en pies, la constante gravitacional es \(g = 32\) pies por segundo por segundo.

Una de las fantásticas consecuencias del cálculo — que, al igual que la realización de que la aceleración debido a la gravedad es constante, se debe en gran parte a Sir Isaac Newton a finales de los años 1600 — es que la altura de un objeto en caída en el tiempo \(t\) se modela mediante una función cuadrática.

Si la altura se mide en metros y la velocidad en metros por segundo, la constante gravitacional es \(g = 9.8\) y la función \(h\) tiene la forma \(h(t) = -4.9t^2 + v_0t + s_0\text{.}\) (Cuando la altura se mide en pies, la constante gravitacional es \(g = 32\text{.}\))

Hasta ahora, hemos visto que las funciones cuadráticas tienen muchas propiedades interesantes. En Preview Activity 1.5.1, descubrimos un patrón adicional que es particularmente notable.

En la Tabla 1.5.9, vemos un patrón interesante en las velocidades promedio de la pelota. De hecho, si eliminamos la notación “\(AV\)” y nos centramos en el valor inicial de cada intervalo, viendo la tasa de cambio promedio resultante, \(r\text{,}\) como una función del valor inicial, podemos considerar la tabla relacionada vista en Table 1.5.10, donde es evidente que \(r\) es una función lineal de \(a\text{.}\)

De hecho, al ver estos datos gráficamente como en Figure 1.5.11, observamos que la tasa de cambio promedio de \(h\) está cambiando de una manera que parece estar representada por una función lineal. Aunque se necesitan ideas clave del cálculo para formalizar esta observación, por ahora simplemente notaremos que para una función cuadrática parece haber una función lineal relacionada que nos dice algo sobre cómo cambia la función cuadrática. Además, también podemos decir que en la función cuadrática \(h\) que se abre hacia abajo, su tasa de cambio promedio parece estar disminuyendo a medida que nos movemos de izquierda a derecha

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Siempre y cuando consideremos la tasa de cambio promedio en intervalos de la misma longitud. Nuevamente, se necesitan ideas del cálculo para hacer esta observación completamente precisa.

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Una observación clave para concluir aquí es que el hecho de que la parábola “se doble hacia abajo” está aparentemente conectado con el hecho de que su tasa de cambio promedio disminuye a medida que nos movemos de izquierda a derecha. Por el contrario, para una función cuadrática que “se dobla hacia arriba”, podemos mostrar que su tasa de cambio promedio aumenta a medida que nos movemos de izquierda a derecha (ver Exercise 1.5.5.2). Además, también vemos que es posible ver la tasa de cambio promedio de una función en intervalos de \(1\) unidad como una función en sí misma: un proceso que relaciona una entrada (el valor inicial del intervalo) con una salida correspondiente (la tasa de cambio promedio de la función original en el intervalo resultante de \(1\) unidad).

Para cualquier función que se doble consistentemente hacia arriba exclusivamente o hacia abajo exclusivamente en un intervalo dado \((a,b)\text{,}\) usamos el siguiente lenguaje formal

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Se necesita cálculo para hacer Definition 1.5.12 riguroso y preciso.

para describirla.

Así, ahora llamamos a una función cuadrática \(q(x) = ax^2 + bx + c\) con \(a \gt 0\) “cóncava hacia arriba”, mientras que si \(a \lt 0\) decimos que \(q\) es “cóncava hacia abajo”.